Matemáticas SIN FÓRMULAS. LIBRO 1: Conjuntos, aplicaciones, sucesiones, series, funciones, calculo diferencial e integral, funciones de varias variables

Description

Un diálogo de los autores a modo de prólogo
1 Teoremas, axiomas, definiciones
2 Conjuntos
3 Aplicaciones
4 Relaciones
5 Sucesiones, series
6 Funciones
7 Propiedades de las funciones
8 Cálculo diferencial e integral
9 Funciones de varias variables

Un diálogo de los autores a modo de prólogo

–¿`Matemáticas sin fórmulas? ¿`No habremos exagerado? Eso es algo como geografía sin mapas o una ópera sin música.

–En verdad una ópera sin música sería imposible. Pero los mapas, ¿`acaso son ellos la esencia de la geografía? Cuando miras un filme documental, oyes a un viajero experto o tú mismo viajas, ¿`acaso no adquieres nuevos conocimientos geográficos? Además todo esto se percibe de una manera más profunda y es más interesante que los mapas. Aunque, claro está, los mapas suministran la información en una forma muy clara y compacta. Pues, lo mismo sucede con las fórmulas: independientemente de su precisión y de su contenido, no son ellas la esencia de la matemática.

–Entonces ¿`en qué consiste la esencia de la matemática?

–No sé si te convencerán mis palabras. Como se dice, nadie es profeta en su tierra. Por eso, permíteme utilizar las palabras de autoridades en este campo. “En los trabajos de matemática lo más importante es el contenido, las ideas, los conceptos, y sólo después, para expresar todo esto, los matemáticos tienen su lenguaje: las fórmulas”. Nótese que lo primero son el contenido, las ideas, los conceptos; la forma y las fórmulas son algo secundario.

–¿`A quién pertenecen estas palabras?

–A Sofía Kovalévskaya.

–De acuerdo. La esencia de la matemática no se encuentra en las fórmulas. Pero aun así, ellas son su lenguaje, su idioma natal. ¿`Alguna vez has leído poesía japonesa?

–Sí, pero en traducciones.

–¡`A eso me refiero! En las traducciones las palabras cortas del original tienen que ser sustituidas por palabras de varias sílabas. De esta manera se esfuma todo el encanto de la poesía japonesa. La belleza de la poesía japonesa sólo se puede percibir si se estudia japonés y se lee en el idioma original.

–De acuerdo, pero actualmente vivimos en condiciones cuando constantemente no nos alcanza el tiempo. Antes de emprender algo nuevo es necesario saber para qué lo hacemos, saber cuál es el objetivo final. Yo comenzaría a estudiar japonés sólo después de que me explicaran en mi lengua natal las irrepetibles maravillas de la poesía japonesa. Pero imagínate que en lugar de esto te dan un pergamino con jeroglíficos… Las fórmulas matemáticas para el profano son lo mismo que jeroglíficos. Y las demostraciones para él son tan incomprensibles como los jeroglíficos. Toda esta jerga, las innumerables frases del tipo “si… entonces…”, “para todo…”, “en general…”, “por lo menos…”.

–Permíteme no estar de acuerdo contigo en esto. Existe una buena anécdota sobre este tema. Si quieres, te la puedo relatar.

–Te escucho.

–Como sabes, Richard Dedekind falleció a una edad bastante avanzada, muchos años después de haber escrito sus trabajos clásicos. Habitualmente pensamos que los clásicos vivieron en tiempos remotos. Bueno, a principios del siglo pasado, Dedekind leyó en un calendario lo siguiente: “Richard Dedekind. Falleció en Brunswick el 4 de septiembre de 1899”. Entonces Dedekind escribió al editor del calendario: “¡`Muy respetado colega! Permítame notificarle que la fecha de mi fallecimiento no es correcta. Por lo menos, el año no lo es”. ¡`Aquí se siente el estilo de un matemático! La ingeniosidad de la respuesta está encerrada en la frase “por lo menos”. Así pues, la rigurosidad y lo interesante pueden ser compatibles. No trates de convencerme de lo contrario. Sería en vano.

–¡`Ni siquiera lo intentaré! Precisamente, de esto te estoy hablando. Debemos buscar el reflejo de las ideas matemáticas en las anécdotas y supersticiones, en los refranes y en las retahílas infantiles, en los cuadros de grandes pintores y en fragmentos de obras clásicas, en los hechos históricos y en nuestra vida cotidiana. Es ahí donde debemos buscar el reflejo de los conceptos matemáticos. ¡`Es imposible que no lo hallemos! ¿`Acaso el árbol de la matemática hubiera crecido hasta tal altura si sus raíces no hubieran penetrado profundamente en la experiencia humana?

–¿`Y es así como piensas explicar toda la matemática y, además, con toda rigurosidad?

–¿`Por qué dices “toda la matemática”? ¿`Y por qué con toda rigurosidad? Este libro no debe ser un libro de texto. Las ideas y conceptos fundamentales son lo más importante. Y si el lector se siente atraído por la matemática, él mismo estudiará después los libros de texto, las fórmulas y las demostraciones rigurosas. Bonaventura Cavalieri en su tratado “Geometría” escribió: “Así como un enjambre de abejas no logra ahuyentar a un oso atacándolo con sus aguijones si éste ya ha probado, aunque sea un poco de la deliciosa miel escondida en el árbol, de la misma manera todo el que haya probado, apenas con los bordes de los labios, las delicias de las demostraciones matemáticas (sin importar las innumerables dificultades que, como constantes punzadas de aguijones de abejas, lo tratan de atemorizar) intentará con todas sus fuerzas asimilar éstas hasta saciarse completamente”.

–Entonces ¿`qué libro será éste? Si no es un libro de texto, ¿`qué libro será? ¿`Algo parecido a “Cabaret matemático” de Graf o “Miscelánea matemática” de Littlewood? ¿`Será simplemente un libro para pasar el tiempo?

–Ni un libro de texto, ni un pasatiempo. Yo intentaría definir su estilo alegóricamente. Imagínate un río a una orilla del cual se encuentra un caminante sediento de conocimientos, pero que no es un experto en matemática. La otra orilla está cubierta por los maravillosos jardines de la matemática. Los libros de matemática son como piedras en el río, caminando por las cuales se puede pasar de una orilla a la otra. Podríamos nombrar la orilla donde se encuentra el caminante “orilla de la ignorancia”. Junto a la otra orilla se amontonan los libros de matemática. Pero no es mucho lo que tenemos para iniciar el paso de una orilla a la otra con seguridad. Por ejemplo, la obra en tres tomos “La matemática, su contenido, métodos y significado” escritos por A.D.Alexándrov, A.N.Kolmogórov, M.A.Lavriéntiev y otros. También “¿`Qué es la matemática?” de R.Courant y H.Robbins, “Preludio a la matemática” y “Una visión de la matemática elemental”, ambos de W.W.Sawyer… Entre ellos queremos poner nuestra “piedra”.

–Un libro medio en serio, medio en broma, como yo ya había pensado. Una especie de híbrido de teorema y fábula. ¿`Y cuál será la forma del libro?

–A mi parecer, existe un estilo perfectamente adecuado al contenido de nuestro libro: fragmentos relacionados entre sí, no mediante puentes verbales, sino mediante la lógica misma del material.

–Eso me hace recordar los “Ensayos” de Montaigne, o “El libro de la almohada” de Sei Shonagon…

–¡`Grandes ejemplos! Me imagino cómo con el movimiento libre de la pluma, uno tras otro aparecen esbozos lacónicos y al mismo tiempo detallados, poéticos y al mismo tiempo filosóficos, con frecuencia impregnados de ironía… ¡`Si fuéramos capaces de mostrar las principales ramas de la matemática en esbozos como éstos!

–¿`Algo así como una guía turística sobre matemática?

–¿`Y por qué no? Cuando viajas a una ciudad que no conoces y ves su belleza, tú no recurres a tratados sobre su arquitectura. En tales libros corres el riesgo de hallar frases como: “El períptero, cubierto de piedra, está rodeado por cornisas de arco”. Seguramente, después de leer algo como esto la primera visita a la ciudad quedará arruinada. Una guía interesante te dirá lo mismo en un lenguaje que te sea comprensible; además, te relatará una leyenda o un poema inspirado por esta ciudad. Y si todo lo que has leído siembra en tu alma un sentimiento de amor por este maravilloso lugar, más tarde sentirás la necesidad de estudiar libros serios sobre ella, de leer aquellos tratados que al inicio considerabas aburridos.

–De acuerdo. Comencemos, pues, nuestra jornada e invitemos al lector a que nos acompañe.

Autores

Iuri Vasílievich Pujnachov (1941–2005). Doctor en Ciencias Físico-matemáticas. Desde 1970 hasta 1989 dirigió una de las secciones de la revista de divulgación científica “Nauka i zhizñ” (“Ciencia y vida”) y desde 1989 fue consultante científico de la misma. Miembro de la Unión de Periodistas (a partir de 1974). En varias ocasiones fue galardonado con diplomas de la sociedad “Znanie” (1978, 1980, 1988). Desempeñу la función de consejero del Ministro de Ciencia y Tecnología de la Federación Rusa entre 1997 y 1999. Fue fundador y primer presidente de la Asociación de Arte Campanario de Rusia (1989). Trabajador emérito de la Federación Rusa en el campo de la cultura.

I. V. Pujnachov es asimismo autor de los libros “Enigmas del metal sonoro”, “Las cuatro dimensiones del arte”, “Imágenes matemáticas” (conjuntamente con Iu. P. Popov), “Siete seminarios de análisis matemático”. A partir de 1988 dirigió varios ciclos de programas en el canal de televisión “Universidades de Rusia”, entre los que podemos mencionar “Diálogo con la computadora”, “Terminal”, “Mundo abierto”, “Las fronteras del futuro”. Además, escribió guiones y filmó películas de contenido científico-técnico en las que se presentan invenciones de las compañías rusas relacionadas con la aplicación de las ciencias fundamentales en la tecnología.

Iuri Petróvich Popov. Nació en el año 1941. Finalizó sus estudios con “Sobresaliente Summa Cum Laude” en la facultad de aeromecánica del Instituto de Física y Tecnología de Moscú en 1964. En 1971, después de defender su tesis de posgrado se incorporó al Instituto de Matemática Aplicada de la Academia de Ciencias de la URSS (actualmente Instituto de Matemática Aplicada “M. V. Kéldysh” de la Academia de Ciencias de Rusia). En 1975 Iu. P. Popov fue elegido secretario científico de este instituto, en 1980 ocupó el cargo de subdirector y desde 1999 es su director. En 1997 fue elegido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Rusia. Ha sido galardonado con el Premio Estatal de la URSS y el Premio del Consejo de Ministros de la URSS. Fue condecorado con la Orden del Estandarte Rojo, la Orden de la “Insignia de Honor” y la Orden de Honor. Es catedrático del Instituto de Física y Tecnología de Moscú.

Iu. P. Popov es autor de más de 200 trabajos científicos. Sus intereses científicos principales están relacionados con la creación de modelos matemáticos y algoritmos eficaces de cálculo y la aplicación de los mismos en problemas de dinámica magnética, dinámica de gases, hidrodinámica gravitatoria, astrofísica, síntesis termonuclear controlada, física del plasma, dinámica de líquidos viscosos, etcétera.