Lecciones de Matemática: Lógica, algoritmos, computabilidad. De Diofanto a Turing y Godel

Description

Introducción a la serie “Lecciones de Matemática”
Prólogo al sexto tomo

1 Algoritmos y computabilidad
1.1. Cálculos universales
1.2. ¿Qué es un algoritmo?
1.3. Computabilidad
1.4. Ejemplos y comentarios
1.5. Problema de la indeterminación
1.6. Conjuntos enumerables
1.7. Procedimientos efectivos
1.8. Máquinas de Turing
1.9. Sobre el funcionamiento de las máquinas de Turing
1.10. Funciones recursivas
1.11. Conjuntos diofánticos
1.12. Comentarios y complementos

2 Incompletitud de la aritmética
2.1. Teoremas de Gödel
2.2. Imposibilidad de formalización de la verdad
2.3. Consistencia
2.4. Ecuaciones no resolubles
2.5. Sobre las verdades aritméticas
2.6. ¿Es posible ayudar a la aritmética desde afuera?
2.7. Demostración del segundo teorema de Gödel
2.8. Paradojas lingüísticas

3 Funciones universales y enumeraciones
3.1. Funciones universales
3.2. Conjuntos universales
3.3. Isomorfismo de enumeraciones de Gödel
3.4. Teorema del punto fijo
3.5. Teorema de Rice
3.6. Enumeraciones y gödelización

4 Deducibilidad
4.1. Conflicto con la definición de verdad
4.2. Problema HSI de Tarski
4.3. Algoritmos normales de Márkov
4.4. Sistemas de Post
4.5. Problema de la equivalencia de palabras
4.6. Tag-problemas
4.7. Gramáticas formales
4.8. Teoría y práctica

5 Lógica matemática
5.1. ¿En qué consiste su misión?
5.2. Variables, conectivas y funciones
5.3. Álgebra de Boole
5.4. Fórmulas, proposiciones, predicados
5.5. Sintaxis y semántica
5.6. Cálculo proposicional
5.7. Lenguajes de primer orden
5.8. Interpretaciones y modelos
5.9. El lenguaje de la aritmética
5.10. Carácter aritmético de las funciones computables
5.11. Medios prohibidos
5.12. Comentarios

6 El lenguaje diofántico y el décimo problema de Hilbert
6.1. Conjuntos diofánticos y funciones diofánticas
6.2. Problemas indecidibles
6.3. Polinomio universal
6.4. Resultados técnicos
6.5. Complementos

7 Matemática constructiva
7.1. Números constructivos
7.2. Sucesión de Specker
7.3. Conflicto con el axioma de elección
7.4. Infinito actual
7.5. Instrumento o realidad

8 Teorías axiomáticas
8.1. Aritmética de Peano
8.2. Paradoja de la categoricidad
8.3. Axiomática de Zermelo–Fraenkel
8.4. Geometría no euclídea
8.5. La hipótesis del continuo

9 Teoría de modelos
9.1. El aspecto lógico
9.2. Qué se encuentra tras los resultados de Gentzen
9.3. La paradoja de Skolem
9.4. Modelos de estructuras booleanas
9.5. Cómo el modelo destruye el esquema
9.6. Modelos abstractos y modelos concretos
9.7. ¿En qué consiste la idea general?
9.8. Bases finitas

10 Grados de indecidibilidad
10.1. Reducibilidad
10.2. Conjuntos productivos y conjuntos creativos
10.3. Conjuntos inmunes
10.4. Máquinas con oráculo
10.5. Grados de Turing
10.6. Jerarquías de los grados

11 Resumen de las definiciones y resultados fundamentales
11.1. Algoritmos y computabilidad
11.2. Incompletitud de la aritmética
11.3. Funciones universales y enumeraciones
11.4. Deducibilidad
11.5. Lógica matemática
11.6. Lenguaje diofántico y el décimo problema de Hilbert
11.7. Matemática constructiva
11.8. Teorías axiomáticas
11.9. Teoría de modelos
11.10. Grados de indecidibilidad

Abreviaturas y notaciones

Bibliografía

Índice de materias