Curso de geometría diferencial

Prólogo a la tercera edición en ruso
Introducción
Capítulo 1. Nociones fundamentales sobre las curvas planas
1.1 Puntos regulares y singulares de una curva plana
1.2 Estructura de una curva en un entorno de un punto regular
1.3 Tangente y normal en un punto regular. Ecuación en coordenadas cartesianas
1.4 Tangente y normal en un punto regular. Ecuación paramétrica
1.5 Tangente y normal en un punto regular. Coordenadas polares
1.6 Estructura de una curva en un entorno de un punto singular. Resultados fundamentales
1.7 Estructura de una curva en un entorno de un punto singular. Detalles teóricos
1.8 Envolvente de una familia de curvas
1.9 Familia de curvas en un entorno de un punto dado
1.10 Asíntotas
1.11 Asíntota como posición límite de la tangente
1.12 Asíntotas de curvas algebraicas
Capítulo 2. Derivada de una función vectorial y sus aplicaciones en la teoría de curvas
2.1 Definición de derivada. Técnica de derivación
2.2 Interpretación de una función vectorial como el vector de posición de una curva expresada paramétricamente
2.3 Condición suficiente de punto regular
2.4 Sentido geométrico de la derivada de una función vectorial
2.5 Diferencial de una función vectorial
2.6 Dos lemas
2.7 Serie de Taylor de una función vectorial
2.8 Estructura de una curva expresada paramétricamente en un entorno de un punto arbitrario
2.9 Longitud de arco como parámetro
2.10 Tangencia de curvas
2.11 Nociones complementarias sobre la tangencia de curvas
Capítulo 3. Curvatura de curvas planas
3.1 Circunferencia osculatriz
3.2 Construcción de la osculatriz mediante paso al límite
3.3 Curvatura
3.4 Vectores
3.5 Fórmulas de Frenet
3.6 Evoluta
3.7 Evolvente
3.8 Ecuación natural de una curva
Capítulo 4. Teoría de la curvatura de las curvas espaciales
4.1 Tangentes y normales
4.2 Tangencia de una curva y una superficie
4.3 Puntos de rectificación
4.4 Plano osculador
4.5 Triedro intrínseco
4.6 Dos lemas sobre la circunferencia
4.7 Circunferencia osculatriz
4.8 Curvatura de una curva espacial
4.9 Fórmulas de Frenet. Torsión
4.10 Fórmulas para el cálculo de la curvatura y la torsión
4.11 Estructura de una curva en un entorno de un punto regular
4.12 Esfera osculatriz
4.13 Ecuaciones naturales
Capítulo 5. Conceptos fundamentales de la teoría de superficies
5.1 Coordenadas curvilíneas en una superficie
5.2 Curvas en una superficie
5.3 Primera forma fundamental de una superficie
5.4 Segunda forma fundamental de una superficie
5.5 Fórmula principal para la curvatura de una curva de la superficie
5.6 Teorema de Meusnier
5.7 Función vectorial lineal en el plano
5.8 Direcciones propias y valores propios
Caso principal
Caso singular
5.9 Función vectorial principal y direcciones principales
5.10 Investigación de la curvatura de las secciones normales
5.11 Fórmula de Euler. Curvaturas principales
5.12 Cálculo de las curvaturas principales y las direcciones principales
5.13 Tipos de puntos de una superficie
5.14 Fórmulas de cálculo
5.15 Líneas de curvatura
5.16 Líneas asintóticas
5.17 Tercera forma fundamental. Direcciones conjugadas
5.18 Dependencia entre las tres formas cuadráticas fundamentales
5.19 Transformación esférica de una superficie
Capítulo 6. Superficies regladas y superficies desarrollables
6.1 Concepto de superficie reglada y superficie desarrollable
Caso general
Caso especial
6.2 Punto de estricción
6.3 Línea de estricción. Estructura de una superficie desarrollable
6.4 Parámetro de distribución
6.5 Envolvente de una familia uniparamétrica de superficies
6.6 Superficie desarrollable como envolvente de una familia de planos
6.7 Arista de retroceso de la envolvente de una familia de planos
6.8 Líneas asintóticas y curvatura total de una superficie reglada
6.9 Superficies desarrollables y superficies de curvatura total nula
6.10 Trayectorias ortogonales en las superficies desarrollables
6.11 Propiedades geométricas de las líneas de curvatura
6.12 Redes conjugadas en una superficie
Capítulo 7. Geometría intrínseca de una superficie
7.1 Concepto de deformación isométrica
7.2 Geometría intrínseca y deformación isométrica de una superficie
7.3 Notaciones con índices
7.4 Primer grupo de fórmulas derivacionales. Símbolos de Christoffel
7.5 Segundo grupo de fórmulas derivacionales. Ecuaciones de Weingarten
7.6 Papel de la segunda forma fundamental
7.7 Teorema de Gauss
7.8 Ecuaciones de Petersón–Codazzi
7.9 Vectores de una superficie
7.10 Gradiente de un campo escalar de una superficie
7.11 Transporte paralelo de vectores en una superficie
7.12 Propiedades del transporte paralelo
7.13 Curvatura normal y curvatura geodésica de una curva en una superficie
7.14 Cálculo de la curvatura geodésica
7.15 Líneas geodésicas de una superficie
7.16 Líneas geodésicas desde el punto de vista del transporte paralelo en una superficie
7.17 Coordenadas semigeodésicas en una superficie
7.18 Propiedad extremal de las geodésicas
7.19 Deformación isométrica de las superficies de curvatura no constante
7.20 Superficies isométricas a una superficie de revolución
7.21 Deformación isométrica de superficies de curvatura total constante
7.22 Superficies de revolución de curvatura constante
7.23 Transporte paralelo de un vector por un contorno cerrado
Breve reseña histórica
Índice de autores
Índice de materias