Aplicación de los paquetes MathCAD, Maple y LaTeX en la resolución de problemas matemáticos y la preparación de textos científicos

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Prólogo
1 Paquete de métodos numéricos Mathcad
1.1. Introducción
1.2. Búsqueda de las raíces de una ecuación
1.2.1. Introducción
1.2.2. Funciones de forma general
1.2.3. Búsqueda de las raíces de un polinomio
1.2.4. Búsqueda de las raíces de una ecuación mediante cálculos simbólicos
1.2.5. Búsqueda de las raíces de una ecuación con ayuda del paquete Mathcad 2000
1.3. Resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones
1.3.1. Introducción
1.3.2. Resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales y no lineales
1.3.3. Resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales
1.3.4. Resolución simbólica de sistemas de ecuaciones
1.3.5. Búsqueda de los extremos de una función
1.4. Cálculo de integrales definidas
1.4.1. Método de Romberg
1.4.2. Cálculo de integrales definidas
1.4.3. Aplicación del método de Monte Carlo al cálculo de integrales múltiples
1.5. Resolución de ecuaciones diferenciales
1.5.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias
1.5.2. Resolución de ecuaciones en derivadas parciales
1.6. Aproximación de funciones
1.6.1. Introducción
1.6.2. Interpolación local
1.6.3. Interpolación global
1.6.4. Método de los mínimos cuadrados
2 Sistema de álgebra computacional Maple
2.1. Introducción
2.2. Observaciones preliminares
2.3. Definición de las funciones del usuario
2.4. Construcción de gráficos de funciones y superficies
2.4.1. Construcción de gráficos de funciones
2.4.2. Construcción de superficies
2.5. Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
2.5.1. Resolución de ecuaciones
2.5.2. Resolución de sistemas de ecuaciones
2.6. Resolución de problemas de álgebra matricial
2.6.1. Métodos de definición de una matriz
2.6.2. Operaciones fundamentales con matrices
2.6.3. Cálculo del determinante, rango y traza de una matriz
2.6.4. Cálculo de la matriz transpuesta
2.6.5. Cálculo de la matriz inversa
2.6.6. Cálculo de los valores propios y vectores propios de una matriz
2.7. Integración y derivación de funciones de una o varias variables
2.7.1. Integración de funciones
2.7.2. Derivación de funciones
2.8. Resolución de ecuaciones diferenciales
2.8.1. Resolución de ecuaciones diferenciales
2.8.2. Resolución de un sistema de dos ecuaciones diferenciales
2.8.3. Resolución de un sistema de tres ecuaciones diferenciales
2.9. Teoría de números. Combinatoria. Teoría de grafos
2.9.1. Teoría de números
2.9.2. Combinatoria
2.9.3. Teoría de grafos
2.10. Material complementario
2.10.1. Forma inerte de los operadores
2.10.2. Cálculo de sumas y productos
2.10.3. Cálculo de límites
2.10.4. Desarrollo de una función en serie
2.10.5. Definición de funciones suaves a trozos
3 Sistema de preparación de textos científicos LaTeX2e
3.1. Introducción
3.2. Conocimientos preliminares acerca del paquete LaTeX2e
3.3. Símbolos matemáticos
3.4. Caracteres
3.5. Fracciones, raíces, límites, sumas, productos
3.6. Matrices
3.7. Fórmulas complejas
3.8. Definición de nuevas instrucciones
3.9. Ilustraciones y tablas flotantes
3.10. Construcción de listas
3.11. Bibliografía
3.12. Etapas de preparación de un texto
Apéndices
Problemas de control
Bibliografía
Índice de materias
Prólogo
El plan de estudios de la asignatura “Tecnologías informacionales en la matemática”, introducida por el Sistema Estatal de Educación Superior Profesional de la Federación Rusa, contempla los siguientes temas.

1) Resumen general de los paquetes de cálculo simbólico (Mathematica, Derive, Maple V, Mathcad).

2) Utilización de los paquetes de cálculo simbólico:

a) en la solución de problemas relacionados con la derivación e integración de funciones de una o de varias variables;

b) en la construcción de gráficos de funciones y superficies;

c) en la solución de problemas de álgebra matricial;

d) para resolver analíticamente sistemas de ecuaciones lineales;

e) para resolver ecuaciones no lineales;

f) en la solución de problemas de teoría de números y combinatoria.

3) Tecnologías de preparación de textos matemáticos. Paquete TeX (LaTeX).

Entre los paquetes de cálculo simbólico mencionados sólo Maple V R4 es distribuido gratis. Los demás paquetes de programas tienen precios bastante elevados. Aparte de esto, Mathcad y Derive no son paquetes dedicados al cálculo simbólico, sino a los métodos numéricos. Además, el paquete Derive no está muy difundido, su popularidad es considerablemente inferior a la de MATLAB y Mathcad. El paquete Mathcad permite realizar transformaciones analíticas, pero para esto utiliza el núcleo de Maple integrado en él. Las posibilidades ofrecidas por el paquete Mathcad para resolver problemas de teoría de números y combinatoria son muy pobres.

El paquete de cálculo simbólico Mathematica en muchos aspectos es hermano gemelo del paquete Maple. Si se ha asimilado uno de estos paquetes, sin ninguna dificultad se puede utilizar el otro paquete.

Es evidente que en el corto tiempo asignado por el programa académico es imposible realizar un estudio multilateral de todos los paquetes enumerados. En el presente libro estudiaremos los principios fundamentales del trabajo con los paquetes Maple, Mathcad y el sistema de preparación de textos matemáticos LaTeX.

Se supone que el lector conoce los principios fundamentales de trabajo con la computadora, por lo que no nos detendremos en las cuestiones relacionadas con el interfaz de los paquetes Maple y Mathcad.

Hoy casi nadie recuerda que las computadoras fueron creadas, en primer lugar, para realizar cálculos científicos. De todos modos, los cálculos científicos e ingenieriles continúan siendo uno de los campos más importantes de aplicación de las computadoras, aunque, quizás, no sea el más notable. En el transcurso de muchos años se han acumulado extensas bibliotecas de subprogramas científicos, escritos en primer lugar en el lenguaje FORTRAN, destinados a la solución de problemas típicos (de álgebra lineal, integración, resolución de ecuaciones diferenciales, etcétera). Además, existe una gran cantidad de paquetes matemáticos capaces de realizar diferentes métodos numéricos y transformaciones analíticas. Probablemente, en la actualidad los paquetes más conocidos sean los siguientes: Mathematica (Wolfram Research), Maple (Waterloo Maple Inc.), MATLAB (The MathWorks), Mathcad (MathSoft Inc). Los dos primeros paquetes, en realidad, son paquetes para realizar cálculos simbólicos.

Probablemente, el paquete Mathematica es el más difundido hoy en los círculos científicos, sobre todo, entre los teóricos. Este paquete ofrece grandes posibilidades para realizar cálculos simbólicos (analíticos), sin embargo, requiere para su trabajo una computadora suficientemente potente. El sistema de instrucciones de este paquete es parecido en muchos aspectos a un lenguaje de programación.

El paquete Maple es muy popular en los círculos científicos. Sus usuarios lo caracterizan como un paquete muy fiable y estable. Además de realizar transformaciones analíticas, es capaz de resolver los problemas numéricamente. Una particularidad de este paquete es que permite convertir los documentos al formato LaTeX, que es el estándar de hecho utilizado por la gran mayoría de las editoriales científicas de nivel mundial. Una serie de programas utiliza el procesador simbólico integrado de Maple. Por ejemplo, el paquete Scientific WorkPlace (TCI Software Research), destinado a la elaboración de publicaciones científicas, permite dirigirse al procesador simbólico de Maple, realizar transformaciones analíticas e incluir los resultados obtenidos en un documento.

Al igual que los paquetes mencionados anteriormente, el paquete MATLAB es un lenguaje de programación de alto nivel destinado a la resolución de problemas científicos. Una característica de este paquete consiste en que permite conservar los documentos en el formato propio del lenguaje de programación ‘.

El paquete Mathcad es probablemente más conocido y utilizado por los ingenieros que por los científicos. Para este paquete es característico el uso de notaciones matemáticas habituales, es decir, en la pantalla el documento se presenta como un cálculo matemático estándar. Para utilizar este paquete no es necesario estudiar ningún sistema de instrucciones, como es el caso de los paquetes Mathematica y Maple. Este paquete está orientado, en primer lugar, a los cálculos numéricos, pero en él está integrado el procesador simbólico de Maple, permitiéndole realizar transformaciones analíticas. En las últimas versiones de este paquete se ha incluido la posibilidad de unir documentos creados en Mathcad con documentos elaborados con ayuda de MATLAB. A diferencia de los paquetes mencionados anteriormente, Mathcad es un medio de programación visual, es decir, no requiere el conocimiento de un conjunto específico de instrucciones. Gracias a la facilidad de aprendizaje, a su interfaz amigable y a los pocos recursos que requiere de la computadora para su trabajo, el paquete Mathcad fue elegido para el estudio de los métodos numéricos.

En los últimos años se nota cierta tendencia hacia el acercamiento e integración de diferentes paquetes. Por ejemplo, las últimas versiones de los paquetes Mathematica y Maple contienen medios de programación visual; en el paquete MATLAB se ha incluido la biblioteca de transformaciones analíticas de Maple; el paquete Mathcad permite trabajar conjuntamente con MATLAB.

En la siguiente figura se muestran las conexiones de diversos paquetes.

Iuri Iúrievich Tarasiévich

Doctor en ciencias físico-matemáticas, profesor (Departamento de Matemática Aplicada e Informática de la Universidad Estatalla Universidad Estatal de Astraján). En el año 1985 terminó sus estudios en la Facultadla Facultad de Física de la Universidad Estatal de Rostov. Durante los años 1988–1991 cursó estudios de posgrado en el Departamento de Física Teórica y Computacional de esta universidad. Obtuvo el título de Doctor en Ciencias Físico-matemáticas en esta misma sede universitaria en el año 2002.

Se ha dedicado principalmente a la física computacional, la simulación computacional, la física del cuerpo rígido y la introducción de las técnicas computacionales en el proceso de enseñanza. Ha impartido los siguientes cursos en diferentes centros universitarios: simulación computacional y matemática, modelos matemáticos de los procesos físicos, métodos numéricos, matemática discreta, introducción a la geometría fractal, lenguajes de programación, paquetes de programas aplicados, etcétera.