Análisis funcional: Curso avanzado

Description

Del prólogo a la edición en ruso
Capitulo I. Espacios vectoriales
1. Definición de espacio vectorial
2. Base vectorial
3. Aplicaciones lineales
4. Operaciones con espacios vectoriales
5. Conjuntos convexos y seminormas
6. Espacios vectoriales ordenados
7. Espacios localmente convexos
8. Funcionales lineales continuos
9. Teoremas de separación
10. Extensión de funcionales lineales
Capitulo II. Espacios de Hilbert
1. Formas bilineales
2. Espacios unitarios
3. Espacios de Hilbert
4. Suma ortogonal de espacios de Hilbert
5. Sistemas ortonormales de vectores
6. Series de Fourier
7. Dimensión ortogonal de un espacio de Hilbert
8. Teorema de Riesz
9. Espacio de operadores lineales acotados
10. Principio de acotación uniforme
11. Topología débil en un espacio de Hilbert
12. Relación entre las formas bilineales acotadas y los operadores
13. Operador adjunto
14. Álgebra B(H)
15. Topologías débil y fuerte en B(H)
16. Teorema de Vigier
17. Raíz cuadrada de un operador positivo
18. Ortoproyectores
19. Convergencia de ortoproyectores
20. Invariancia y reducción
9. C*-álgebras
10. Adjunción de unidad a una C*-álgebra
11. Teorema de Stone–Weierstrass
12. Teorema de Guélfand–Naimark
13. C*-subálgebra generada por un elemento normal
14. Cálculo funcional en C*-álgebras
15. Elementos positivos de una C*-álgebra
16. Identidad aproximada
17. Factorización de una C*-álgebra por un ideal cerrado
18. Morfismos de C*-álgebras
19. Funcionales positivos
20. Estados en una C*-álgebra
21. Teorema de Guélfand–Naimark (caso no conmutativo)
Capitulo IV. Teorema espectral
1. Concepto de operador cerrado
2. Operador adjunto
3. Operadores hermíticos y autoadjuntos
4. Espectro de un operador y sus propiedades
5. Representación integral de las funciones analíticas
6. Teorema espectral para operadores autoadjuntos
7. Teorema espectral en términos de resoluciones de la identidad
8. Medidas espectrales y cálculo funcional
9. Teorema de Stone
Capitulo V. Introducción a las álgebras de VonNeumann
1. Definición de un álgebra de VonNeumann
2. Propiedades elementales de las álgebras de VonNeumann
3. Ideales, conos
4. *-homomorfismo de álgebras de VonNeumann
5. Álgebras de VonNeumann reducidas e inducidas
6. Suma directa de álgebras de VonNeumann
7. Amplificación de un álgebra de VonNeumann
8. Conjuntos separadores y conjuntos totales
9. Operadores nucleares
10. Espacios duales de algunos espacios de operadores
11. Topologías en B(H)
12. Funcionales lineales continuos
13. Teoremas de densidad
14. Ideales cerrados
15. Funcionales normales
16. Morfismos de álgebras de VonNeumann
17. Trazas normales en álgebras de VonNeumann
18. Clasificación de las álgebras de VonNeumann
Capitulo VI. Aplicación de la teoría de operadores a la axiomatización de los sistemas físicos
1. Mecánica clásica
2. Mecánica cuántica
3. Axiomatización de un sistema físico
4. Axiomatización de un sistema físico (continuación)
5. Método cuántico-lógico
6. Modelos “de juguete” de sistemas físicos
7. Axiomas de la mecánica cuántica
Apéndice 1. Espacios con medida
Apéndice 2. Funciones fuertemente analíticas
Apéndice 3. Teorema de Krein–Shmulián
Bibliografía
Índice de notaciones
Índice de materias
Предисловие
En este libro se han reunido una serie de cursos básicos impartidos por los autores en el transcurso de varios años en la Facultad de Matemática de la Universidad de Kazán a los estudiantes que se especializan en análisis funcional. Dichos cursos están dedicados a una rama del análisis funcional que en la actualidad se desarrolla intensamente: las álgebras topológicas y sus representaciones. En el libro también se ha incluido un curso facultativo que, por una parte, puede ser considerado como una aplicación de los resultados fundamentales expuestos al estudio de las estructuras lógicas de la física matemática moderna y, por otra parte, como una prueba más de la fructífera interacción entre la matemática y la física. Este curso facultativo (basado en el libro Mathematical foundations of quantum mechanics de Mackey, George G. Mackey) tiene un carácter menos formal que el resto de los cursos.

Como muestra la experiencia, la profundidad de los resultados clásicos en este campo en combinación con el interés estético provocado por las construcciones matemáticas estudiadas facilita el trabajo de los estudiantes. El estudio de estos cursos requiere el cumplimiento de una condición necesaria: la resolución de los problemas para la evaluación propuestos en los cursos y la demostración de las afirmaciones marcadas con el símbolo (!!). Generalmente, estos cursos son impartidos durante el tercer y cuarto años de estudio. Los dos primeros cursos se imparten simultáneamente con el curso general de análisis funcional. Debido a esto hemos tratado de evitar la repetición de los temas del curso general y, al mismo tiempo, conservar la autonomía del libro como fuente didáctica. Este es precisamente el objetivo de los apéndices ofrecidos al final del libro. Por esta misma razón se recomienda impartir los dos primeros cursos en forma de clases de problemas. La bibliografía recomendada no pretende ser exhaustiva y sólo incluye los manuales más acertados (según nuestro punto de vista) dedicados a la temática dada.

Об авторах
Lugovaia Galina Dmítrievna
Profesor del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Kazán (UEK), Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas (1983). Terminó sus estudios en 1975 en la Facultad de Mecánica y Matemática de la UEK. Desde 1975 hasta 1984, profesor asistente del Departamento de Análisis Matemático de la UEK, y desde 1984 profesor asociado de este departamento. Ha publicado más de 30 publicaciones científicas y metodológicas. Sus intereses científicos se concentran alrededor de la teoría no conmutativa de la medida.

Sherstniov Anatoli Nikoláievich

Doctor en ciencias físico-matemáticas (1981), Profesor del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad Estatal de Kazán. Terminó sus estudios en 1960 en la Facultad de Física y Matemática de la Universidad Estatal de Kazán (UEK). Desde 1960 hasta 1973 trabajó como investigador científico y posteriormente como jefe de la Sección de teoría de probabilidades del Instituto de Investigación de Mecánica y Matemática adjunto a la UEK. Desde 1974 hasta 1998 fue jefe del Departamento de Análisis Matemático de la UEK; profesor de este departamento desde 1998 hasta 2011. DirigeDesde el año 1974 dirige el seminario científico «Álgebras de operadores y sus aplicaciones», que fue organizado por él y funciona en la Facultad de Mecánica y Matemática de la UEK desde 1974. Ha asesorado 15 tesis de posgrado. Es autor de más de 90 publicaciones científicas y materiales didácticos. Posee el galardón de «Trabajador Emérito de la Ciencia» de la República de Tartaristán (Rusia). Sus intereses científicos están relacionados principalmente con la teoría no conmutativa de la medida y la integral.