Ecuaciones diferenciales ordinarias. Breve exposición del material teórico y problemas con soluciones detalladas

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Prólogo

1 Ecuaciones diferenciales de primer orden
§ 1. Conceptos y definiciones básicos
§ 2. Método de las isoclinas
§ 3. Método de aproximaciones sucesivas
§ 4. Ecuaciones de variables separables y ecuaciones reducibles a ellas
§ 5. Ecuaciones homogéneas y ecuaciones reducibles a ellas
*Ecuaciones homogéneas
*Ecuaciones reducibles a ecuaciones homogéneas
§ 6. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Ecuación de Bernoulli
*Ecuaciones lineales de primer orden
*Ecuación de Bernoulli
§ 7. Ecuaciones diferenciales exactas. Factor integrante
*Ecuaciones diferenciales exactas
*Factor integrante
§ 8. Ecuaciones diferenciales de primer orden no resueltas respecto a la derivada
*Ecuaciones de primer orden de grado n respecto a y’
*Ecuaciones de la forma f(y,y’) = 0 y f(x,y’) = 0
*Ecuaciones de Lagrange y de Clairaut
§ 9. Ecuación de Riccati
§ 10. Construcción de ecuaciones diferenciales de familias de curvas. Problemas de trayectorias
*Construcción de la ecuación diferencial de una familia de curvas
*Problemas de trayectorias
§ 11. Soluciones singulares de una ecuación diferencial
§ 12. Ejercicios del capítulo

2 Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores
§ 13. Conceptos y definiciones básicos
§ 14. Ecuaciones diferenciales que admiten reducción del orden
§ 15. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
*Independencia lineal de funciones. Determinante de Wronski. Determinante de Gram
*Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
*Ecuaciones lineales no-homogéneas con coeficientes constantes
*Ecuaciones de Euler
*Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Método de Lagrange
*Obtención de una ecuación diferencial a partir de su sistema fundamental de soluciones
*Fórmula de Ostrogradski–Liouville
§ 16. Método de las isoclinas para ecuaciones de segundo orden
§ 17. Problemas de contorno
§ 18. Integración de ecuaciones diferenciales mediante series
*Desarrollo de una solución en una serie de potencias
*Desarrollo de una solución en una serie de potencias generalizada. Ecuación de Bessel
*Búsqueda de las soluciones periódicas de una ecuación diferencial lineal
*Integración asintótica
*Aplicaciones a la integración de ecuaciones diferenciales

3 Sistemas de ecuaciones diferenciales
§ 19. Conceptos y definiciones básicas
§ 20. Método de eliminación (reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales a una ecuación)
§ 21. Búsqueda de combinaciones integrables. Forma simétrica de un sistema de ecuaciones diferenciales
*Búsqueda de combinaciones integrables
*Forma simétrica de un sistema de ecuaciones diferenciales
§ 22. Integración de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Método de Euler
§ 23. Métodos de integración de sistemas lineales no-homogéneos con coeficientes constantes
*Método de variación de la constante (método de Lagrange)
*Método de los coeficientes indeterminados (método de elección)
*Construcción de combinaciones integrables (método de D’Alembert)
§ 24. Aplicación de la transformación de Laplace a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales y
de sistemas
*Nociones generales de la transformación de Laplace
*Resolución del problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes
*Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

4 Teoría de la estabilidad
§ 25. Estabilidad según Liapunov. Conceptos y definiciones básicas
§ 26. Tipos elementales de puntos de reposo
§ 27. Método de las funciones de Liapunov
§ 28. Estabilidad en la primera aproximación
§ 29. Estabilidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales respecto a las variaciones de los
segundos miembros
§ 30. Criterio de Routh–Hurwitz
§ 31. Criterio geométrico de estabilidad (criterio de Mijáilov)
§ 32. Ecuaciones con derivada dependiente de un parámetro pequeño

Respuestas

Apéndice 1. Algunas fórmulas de la geometría diferencial

Apéndice 2. Originales fundamentales sus transformadas

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