Un paseo por la teoría de los números: De la criba de Eratóstenes a la conjetura de Goldbach

Description

Prólogo
Introducción
I Nuestro sistema de numeración
II ?`Cómo contaban nuestros antepasados?
III ?`Con qué objetivo y cómo contó Arquímedes los granos de arena?
IV No de diez en diez, sino de cinco en cinco o de doce en doce
V Una aritmética en la que no es necesario hacer cálculos
VI Una medida común
VII Ecuaciones de la aritmética
VIII Una aritmética en la que “tres por tres da cuatro”
IX ?`Es divisible o no?
X Algo más sobre divisibilidad. Un “gran” teorema llamado “pequeño”
XI La criba de Eratóstenes
XII ?`Con qué frecuencia se encuentra un número primo?
XIII La conjetura de Goldbach
Apéndice
Índice de autores
Índice de materias
Prólogo
Se dedica a la memoria de Nikolay Borísovich Gofman, caído heroicamente en el campo de batalla.
Existen muchos libros (debemos decir que entre ellos hay excelentes) cuyo objetivo es despertar el interés por la matemática. Este libro tiene otro fin: satisfacer a aquellos que ya se interesan por la matemática, pero no tienen suficientes conocimientos para leer la literatura matemática especializada. El lector no hallará aquí rompecabezas matemáticos ni anécdotas entretenidas. Este libro es una introducción seria pero asequible a algunos de los principales temas de la teoría de los números enteros. Para comprender este material es suficiente conocer la aritmética y el álgebra aproximadamente al nivel de los últimos grados de la escuela secundaria. La intención del autor fue ofrecer un material adecuado a los maestros principiantes, a los estudiantes de centros de enseñanza técnica y de especialidades pedagógicas y, principalmente, a los alumnos de los últimos grados que se sienten especialmente atraídos por la matemática.

Debemos, sin embargo, aclarar que éste no es un libro de texto de matemática. Es por ello que el autor no ha tratado de dar una exposición sistemática de los fundamentos de la teoría de números, con la esperanza de lograr así un lenguaje más vivo e interesante. De todos modos, es posible que los estudiantes de matemática vean en este libro un trampolín para pasar de la cómoda aritmética elemental a la más seria y severa teoría de números.

El autor expresa su más sincero agradecimiento a todos los que de una forma u otra han colaborado en la publicación de este libro, y especialmente al profesor A.F.Bermant por sus valiosas indicaciones.

G.N.Berman
Introducción
Los números naturales (uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, etcétera) surgieron como consecuencia de la necesidad de contar. El hombre como especie los utiliza desde los mismos comienzos de la civilización; hoy, cualquier persona los conoce, si no desde la cuna, al menos desde la edad preescolar.

La humanidad aprendió a contar mucho antes de conocer la suma y la multiplicación y los números naturales aparecieron mucho antes que los números negativos y los fraccionarios.

A pesar de su utilización habitual y cotidiana, a los números naturales les son propias muchas propiedades generalmente desconocidas. Existe toda una ciencia, la teoría de números, que se ocupa de su estudio y que posee una interesante propiedad: sus problemas son, aparentemente, sencillos y comprensibles y es posible dar a conocer a cualquier persona con cierta preparación sus resultados; sin embargo, las vías de resolución de los problemas y los métodos de obtención de los resultados resultan a veces muy complejos e inaccesibles, incluso para los mejores matemáticos. No en vano Carl Gauss, uno de los más renombrados matemáticos de la historia, dijo que la aritmética es la reina de la matemática, tomando en consideración, por supuesto, no la aritmética elemental, sino la teoría de números, la cual también es denominada aritmética superior y que fue creada, en gran parte, por el propio Gauss.

Los números naturales son infinitos: entre ellos no existe el mayor.

Para nosotros esta afirmación resulta evidente dado que, si hubiera un número entero mayor que los restantes, entonces, agregándole la unidad, obtendríamos un número aún mayor. La infinitud de la serie de los números naturales crea dificultades considerables en el fundamento lógico de la aritmética.

En este libro no analizaremos los fundamentos de la aritmética (axiomas y reglas elementales).

La serie de los números naturales, los números que nos sirven para contar los objetos, comienza desde el 1 y no desde el 0. El cero y los números negativos se introdujeron para hacer posible la operación de sustracción en los casos en que el sustraendo es igual o mayor que el minuendo. Los números enteros positivos, los enteros negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros; las reglas elementales de sus operaciones se estudian al comienzo del curso escolar de álgebra. En este libro, en general, analizaremos las propiedades de los números naturales, pero en los casos donde esto contribuya a simplificar la exposición, se utilizarán los números negativos y el cero.

?`Qué propiedades de los números naturales serán objeto de nuestro análisis? Ante todo, los diversos métodos de escritura y notación de los números, así como el desarrollo y la relación entre estos métodos. Seguidamente, se analizarán los problemas que surgen al dividir los números enteros entre sí (divisibilidad, máximo común divisor, descomposición en factores primos, etcétera).

En los capítulos finales se describen algunas propiedades de los números primos, que fueron objeto de estudio de brillantes matemáticos rusos como P.L.Chébyshev, E.I.Zolotariov y otros. En el siglo XX los resultados más destacados y sobresalientes fueron obtenidos por los matemáticos soviéticos L.G.Shnirelmán y especialmente por el académico I.M.Vinográdov. Nos referiremos a ellos en el último capítulo del presente libro. Hasta aquí, en esencia, el contenido que presentamos al lector.