Teoría de superficies

Description

Prólogo
Capítulo 1. Curvas espaciales 1
A. Elementos de primer orden
1. Definición de una curva
2. Tangente
3. Longitud de arco
B. Elementos de segundo orden
4. Normal principal
5. Triedro intrínseco de Frenet
6. Plano osculador
C. Elementos de tercer orden
7. Movimiento del triedro de Frenet
8. Descripción del movimiento del triedro de Frenet
9. Curvatura y torsión
10. Curvas de Bertrand
11. Ecuaciones naturales de una curva
12. Hélices
D. Superficies desarrollables relacionadas con la curva
13. Envolvente de una familia de superficies
14. Superficies desarrollables
15. Superficie polar
16. Evoluta de una curva
17. Superficie rectificante
E. Superficies osculatrices
18. Plano osculador
19. Esfera osculatriz
20. Fórmula para la torsión de una curva

Capítulo 2. Elemento lineal de una superficie 2
A. Elementos de primer orden en una superficie
1. Coordenadas curvilíneas en una superficie
2. Plano tangente
3. Elemento lineal de una superficie
4. Ángulo entre dos curvas de una superficie
5. Área de una superficie
B. Ejemplos de superficies
6. Plano y esfera
7. Superficies de revolución
8. Catenoide
9. Seudoesfera
10. Superficie reglada
C. Superficies deformables isométricamente una sobre otra
11. Deformación isométrica de superficies
12. Superficies desarrollables
13. Deformación isométrica de superficies de revolución
14. Deformación isométrica de la esfera
D. Aplicaciones conformes
15. Aplicaciones conformes
16. Aplicación conforme de una superficie de revolución sobre un plano
17. Sistema isotérmico
18. Líneas de longitud nula

Capítulo 3. Segunda forma cuadrática 3
A. Curvatura normal de una curva en una superficie
1. Curvatura de una curva en una superficie
2. Curvatura normal de una curva
3. Indicatriz de Dupin
4. Fórmula de Euler
5. Radios de curvatura principales
B. Triedro de Darboux
6. Triedro de Darboux
7. Interpretación cinemática de las formas cuadráticas de Gauss
8. Imagen esférica de una superficie
9. Curvatura de una superficie
C. Líneas de curvatura
10. Líneas de curvatura
11. Rodamiento del triedro de Darboux por la superficie de centros
D. Líneas conjugadas
12. Direcciones conjugadas
13. Superficie con un sistema conjugado
E. Líneas asintóticas
14. Líneas asintóticas
15. Tangentes asintóticas a una superficie
16. Superficie con un sistema de líneas asintóticas
17. Fórmulas de Lelieuvre
18. Teorema de Enneper
F. Complemento
19. Transformación proyectiva del espacio
20. Formas cuadráticas de una superficie
Problemas
Capítulo 4. Ecuaciones fundamentales de la teoría de superficies 4
A. Ecuaciones de Gauss–Codazzi
1. Ecuaciones fundamentales en la forma de Darboux
2. Unicidad de una superficie con invariantes dados
3. Búsqueda de las ecuaciones finitas de una superficie
4. Definición del triedro de Darboux si se conocen los coeficientes de las dos formas fundamentales
5. Ecuaciones de Codazzi y teorema egregio de Gauss
B. Deformación isométrica de una superficie
6. Dos problemas de deformación isométrica
7. Teorema de Gauss
8. Primer problema de deformación isométrica
9. Superficies de curvatura constante
10. Deformación isométrica con una línea inmóvil
11. Deformación isométrica conservando una familia de líneas asintóticas
12. Deformación isométrica conservando un sistema conjugado
C. Imagen esférica de una superficie
13. Imagen esférica y su elemento lineal
14. Tercera forma cuadrática de Gauss
15. Superficie con un sistema conjugado de imagen esférica dada
16. Imagen esférica de las líneas asintóticas
17. Ejemplos
Problemas
Capítulo 5. Líneas geodésicas. Geometría en la superficie 5
1. Líneas geodésicas como líneas de dirección constante en una superficie
2. Ecuación de la línea geodésica
3. Líneas geodésicas como líneas de distancia mínima en una superficie
4. Teorema de Darboux
5. Líneas geodésicas en una superficie de revolución
6. Desarrollo de una línea sobre el plano
7. Torsión geodésica
8. Curvatura de un triángulo geodésico
9. Circunferencias geodésicas de Darboux
10. Elipses e hipérbolas geodésicas
11. Teorema de Jacobi
12. Superficies de Liouville
13. Geometría en la seudoesfera
Problemas
Capítulo 6. Superficies minimales 6
1. Superficies de área mínima
2. Propiedades fundamentales de las superficies minimales
3. Fórmulas de Monge
4. Fórmulas de Weierstrass
5. Superficies minimales unilaterales
6. Deformación isométrica de superficies minimales
7. Fórmulas de Schwarz
8. Consecuencia de las fórmulas de Schwarz
9. Casos particulares
Problemas
Capítulo 7. Teoría de congruencias 7
1. Geometría rectilínea
2. Congruencias de curvas
3. Congruencias de rectas
4. Focos de un rayo
5. Puntos de frontera de un rayo
6. Congruencias isótropas
7. Congruencias normales
8. W–congruencias
9. Superficies de Weingarten
10. Congruencia seudoesférica
11. Formas fundamentales de Sannia
Problemas
Capítulo 8. Sistemas triortogonales de superficies 8
1. Coordenadas curvilíneas en el espacio
2. Teorema de Dupin
3. Ecuación de Lamé
4. Teorema de Liouville de la aplicación conforme del espacio
5. Teorema de Darboux
6. Ecuaciones para una familia de superficies de Lamé
7. Superficies confocales de segundo grado
8. Sistemas isotérmicos
Problemas
Apéndice
Fórmulas fundamentales
Fotografías de superficies
Índice de autores
Índice de materias

El autor
Serguéi Pávlovich Fínikov
Eminente matemático soviético. Estudió en la Universidad de Moscú, en la cual ocupó el cargo de profesor desde 1918 y el de jefe del Departamento de Geometría Diferencial de la Facultad de Matemática y Mecánica Teórica desde 1952 hasta el 1964. Obtuvo numerosos resultados de carácter fundamental relacionados con los problemas clásicos de la deformación isométrica de superficies y con las teorías métrica y proyectiva de las congruencias. Creó la teoría proyectiva de los pares estratificables de congruencias y desarrolló el método de canonización de referenciales móviles de Cartan y de parámetros independientes, que es una generalización del método de Darboux—Cartan. Es considerado uno de los creadores de la geometría diferencial proyectiva moderna y fundador de la escuela soviética de geometría.