Teoría de probabilidades

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Índice

Prólogo
Introducción para quienes comienzan a estudiar teoría de probabilidades

1 Conceptos básicos
1.1. Sucesos
1.2. Axiomas de la teoría de probabilidades
1.3. Primeras consecuencias de los axiomas
1.4. Regla clásica para el cálculo de probabilidades
1.5. Probabilidad condicionada. Fórmula de la probabilidad total. Fórmula de Bayes.
1.6. Sucesos independientes
1.7. Ejercicios

2 Esquema de Bernoulli
2.1. Esquema de Bernoulli y fórmula de la distribución binomial
2.2. Teorema límite local de De Moivre–Laplace
2.3. Teorema límite integral de De Moivre–Laplace
2.4. Teorema de Bernoulli
2.5. Aproximación de Poisson de la distribución binomial
2.6. Ejercicios

3 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
3.1. Variables aleatorias y funciones de distribución
3.2. Variables aleatorias con distribuciones discretas y absolutamente continuas
3.3. Vectores aleatorios. Variables aleatorias independientes
3.4. Distribución de la suma de variables aleatorias independientes
3.5. Ejercicios

4 Esperanza matemática, variancia y otros momentos de variables aleatorias
4.1. Esperanza matemática
4.2. Variancia
4.3. Desigualdad de Chébishev
4.4. Momentos de órdenes superiores. Mediana y cuantiles
4.5. Covariancia y coeficiente de correlación. Matriz de covariancia
4.6. Ejercicios

5 Tipos de convergencia en teoría de probabilidades. Ley de los grandes números
5.1. Tipos de convergencia en teoría de probabilidades
5.2. Ley de los grandes números
5.3. Ejercicios

6 Funciones características
6.1. Definiciones y primeras propiedades
6.2. Fórmula de inversión y teorema de unicidad
6.3. Teoremas de Helly
6.4. Relación entre las convergencias de distribuciones y de funciones características
6.5. Ejercicios

7 Teorema central del límite
7.1. Teorema de Lindeberg–Lévy
7.2. Teorema de Lindeberg
7.3. Teorema de Liapunov
7.4. Ejercicios

8 Cadenas de Márkov
8.1. Definiciones
8.2. Clasificación de los estados. Estados esenciales y periódicos
8.3. Recurrencia
8.4. Probabilidades límites y distribuciones estacionarias
8.5. Ejercicios

9 Martingalas
9.1. Esperanza condicionada
9.2. Propiedades de la esperanza condicional
9.3. Martingalas
9.4. Teorema del muestreo opcional
9.5. Convergencia de martingalas
9.6. Ley fuerte de los grandes números
9.7. Ejercicios

10 Procesos de Poisson y procesos de Wiener
10.1. Proceso de Poisson. Definición y caracterizaciones
10.2. Procesos de Poisson compuestos y aplicaciones
10.3. Proceso de Wiener. Definición y primeras propiedades
10.4. Problemas de barrera para el proceso de Wiener
10.5. Ejercicios