Matemáticas SIN FÓRMULAS: LIBRO 2: Series funcionales, espacios lineales y metricos, transformaciones afines, grupos de transformaciones, calculo proposicional, calculo de predicados

Description

Índice
1 Series funcionales
2 Espacios lineales
3 Espacios métricos
4 Transformaciones afines
5 Grupos de transformaciones
6 Cálculo proposicional
7 Cálculo de predicados
Un diálogo de los autores a modo de epílogo

Un diálogo de los autores a modo de epílogo

–De este modo ha terminado nuestro viaje por algunas de las ramas más interesantes de la matemática.

–Y, puesto que hemos actuado de guías, quisiéramos saber si alguien tiene preguntas.

–Permíteme que sea yo quien haga la primera pregunta… ?`Quién crees tú que llegó con nosotros hasta el final? ?`Para quién ha resultado útil conocer la matemática sin fórmulas y demostraciones rigurosas, en lugar de las cuales tuvimos bromas e historias amenas? ?`Quién podría estar interesado en libros como éste?

–Yo pienso que, en primer lugar, los que enseñan la matemática. En la actualidad algunos elementos de matemática superior están incluidos en el programa escolar. En la escuela la matemática superior se debe enseñar de una manera diferente a como ella se enseña en las universidades. Como decía Pascal, “el objeto de la matemática es tan serio que es aconsejable aprovechar cada oportunidad para hacerla un poco amena”.

–Estos libros también pueden ayudar a los alumnos, particularmente si la matemática se la enseñaron de una manera seca, lo que hizo que les pareciera aburrida. Ellos se sentirán atraídos por la posibilidad de ver la matemática desde un punto de vista recreativo y, leyendo estos libros, asimilarán el contenido matemático que hasta el presente les parecía tedioso.

–También podrían interesarse en estos libros aquéllos que necesitan la matemática en un volumen considerablemente mayor que el que estudiaron en la escuela y en los institutos de enseñanza superior. Por ejemplo, los biólogos, los lingхistas, los sociólogos, en resumidas cuentas, todos aquéllos que intentan encauzar sus respectivas ciencias por el cauce matemático. ?`Dónde estas personas pueden tomar sus primeras lecciones de matemática? ?`Acaso los libros para especialistas podrán ser utilizados para esto? ?`No será demasiado alto este peldaño para dar el primer paso? Deben existir libros que desempeñen el papel de peldaños intermedios.

–Cuanto más intensa sea la matematización de los conocimientos, tanto mayor debe ser el número de libros de este tipo. Debemos señalar que, en la actualidad, este proceso se extiende y se acelera. Se ha observado desde hace tiempo que las ciencias que más rápido se desarrollan son las ciencias exactas. Es por esta razón que hoy día las ciencias tienden a transformarse en ciencias exactas.

–En relación con esto recuerdo algo que Darwin dijo: “La matemática parece dotar a las personas con un nuevo órgano sensorial”.

–Yo quisiera citar las palabras de otro naturalista, aunque menos conocido que Darwin,

Jean-Henri Fabre, el autor del libro “La vida de los insectos” y otros. ыl decía que

“la matemática es una maestra sorprendente en el arte de dirigir las ideas, de ordenar lo desordenado, de extirpar las tonterías, de filtrar lo sucio y proporcionar claridad”. “Pero ella –continuaba el científico– es una flor delicada que no crece en todo suelo y florece de una manera que nadie sabe cómo esto sucede”.

–?`Se refiere él a que nadie sabe cómo una rama del conocimiento se convierte en una ciencia exacta? Lamentablemente, así es. No existen recomendaciones al respecto. Y si continuáramos la conversación sobre este tema, sólo podríamos repetir razonamientos de tipo general.

–Estoy de acuerdo. Pero si no podemos recomendar a los representantes de cualquier ciencia lo que deben hacer concretamente para matematizarla, por lo menos, advirtámoslos de lo que, evidentemente, no deben hacer.

–Aclaremos, aunque sea, algunos errores “crónicos” relacionados con la matemática. Por ejemplo, muchos piensan que el desarrollo de toda disciplina matemática comienza con los axiomas, que no se sabe de dónde han salido. Después, sobre estos axiomas se construye todo lo demás. !`Al contrario! La formulación precisa de los axiomas de cualquier disciplina matemática representa la culminación de toda una etapa del desarrollo de ésta, da una forma acabada a los resultados logrados.

Como decía Engels, “los principios no son el punto de partida de la investigación, sino su resultado final”.

–Algunos consideran que la geometría comenzó con los “Elementos” de Euclides. En realidad, antes de que apareciera esta obra tuvieron lugar los descubrimientos de Tales, Pitágoras, Hipócrates y otros, que más tarde fueron sistematizados por Euclides. Además, la sistematización efectuada por Euclides, como se aclaró en el siglo XIX, no era del todo perfecta. Hacia finales del siglo XIX fue creada la axiomática de la geometría, que era, en esencia, satisfactoria de acuerdo con los patrones de rigurosidad vigentes en aquel tiempo. De esta manera, la axiomática culminó una etapa de veinticinco siglos en el desarrollo de la geometría.

–Entonces, ?`cuál es el comienzo de una ciencia exacta si no son los axiomas?

–La historia de las ciencias clásicas exactas, tales como la mecánica, la termodinámica, la óptica y la electrodinámica, podría responder a esta pregunta. Todo comienza con la acumulación de resultados experimentales, con el establecimiento de conexiones estables entre los fenómenos. Estas conexiones generalmente se denominan leyes. Tomemos por ejemplo la electrodinámica. La ley de Amp\`ere, la ley de Faraday, la ley de Biot–Savart: es incontable el número de leyes que fueron descubiertas antes de que aparecieran las ecuaciones de Maxwell, que en la electrodinámica desempeñan el papel de axiomas. De estas ecuaciones se deducían las leyes del campo electromagnético descubiertas anteriormente.

–Evidentemente, el valor de las ecuaciones de Maxwell es mucho mayor. ?`Acaso será valiosa una teoría que solamente explica desde un nuevo punto de vista lo que ya se conoce?

–Claro que no. Su valor sería nulo. Toda teoría se crea y se desarrolla con el objetivo de obtener nuevos conocimientos sobre la naturaleza. El valor de los axiomas consiste en que a partir de ellos, de acuerdo con los principios de la lógica, se deducen afirmaciones que predicen fenómenos antes desconocidos. Así sucedió en la electrodinámica: el propio Maxwell, analizando sus célebres ecuaciones, llegó a la conclusión de que existían ondas electromagnéticas y que la luz tenía naturaleza electromagnética… Más tarde, sus hipótesis fueron confirmadas brillantemente en diversos experimentos. El gran principio de la matemática, que consiste en su método deductivo, en la capacidad de deducir todas sus afirmaciones a partir de unos cuantos axiomas, en verdad dota a los físicos con un nuevo órgano sensorial que les permite prever y comprender lo que no pueden ver o imaginar.

–Sí, al parecer, esto es un buen modelo para cualquier ciencia que desee transformarse en una ciencia exacta. Tratemos de resaltar los momentos fundamentales de esta transformación. A medida que se acumulan resultados experimentales, los teóricos elaboran conceptos fundamentales elementales, que no son muchos, pero que poseen gran contenido, en el sentido de que los resultados observados pueden ser interpretados como manifestaciones concretas de estos conceptos. En la mecánica entre estos conceptos se encuentra el punto material; en la electrodinámica, los conceptos de intensidad del campo eléctrico y del campo magnético…

–Consideremos otro momento esencial: el análisis de los modos de razonamiento que se utilizan en una ciencia dada. Basándose en ellos se crean los principios de deducción según los cuales se obtienen las consecuencias de los axiomas.

–A mi parecer, aquí la cuestión es mucho más simple. En todas las ciencias la lógica es una misma. Es muy ventajoso cuando las leyes halladas en una ciencia dada admiten una formulación cuantitativa. En este caso, para expresarlas solamente es necesario elegir un aparato matemático adecuado y, a partir de este momento, todo ocurre según las correspondientes reglas de transformación de fórmulas.

–Yo no estoy de acuerdo con la palabra “elegir”. Esto significa tomar lo que ya está preparado. Este camino, por supuesto, es posible y razonable. La matemática ha creado un vasto arsenal de métodos, que han demostrado su eficacia en la mecánica, en la termodinámica, en la óptica…

–Frecuentemente ocurre que una misma ecuación permite describir fenómenos muy distantes por su sentido físico. Por ejemplo, la misma fórmula que expresa la ley de interacción de dos cargas eléctricas expresa la ley de atracción de dos masas. No me sorprendería si el aparato matemático de la termodinámica resultara útil, digamos, en cierta teoría lingхística.

–Pero también puede suceder que entre los métodos matemáticos que han sido elaborados y están listos para ser utilizados, no se encuentra aquél que es necesario para una nueva ciencia que comienza a desarrollarse. En este caso es necesario construir todo desde cero. Además, esto será útil para la propia matemática, puesto que ella enriquecerá su arsenal. La necesidad de crear un nuevo aparato matemático puede manifestarse en los lugares más inesperados. Por ejemplo, tú estás seguro de que en todas las ciencias la lógica es una misma, con su eterno “sí–no”, “verdadero–falso”. Recuerdas cómo se vota en las reuniones. Se tienen tres posibilidades y no dos: “a favor”, “en contra”, “abstención”. No es por gusto que se han creado lógicas multivaluadas y otras teorías lógicas aún más raras. Es muy probable que ciertas ciencias para convertirse en ciencias exactas tengan que utilizar un sistema lógico que antes no haya encontrado aplicación en las ciencias exactas. Cada campo del conocimiento tiene sus propias regularidades.

–Dicho de otro modo, la transformación de cualquier ciencia en una ciencia exacta es un proceso que comienza en sus propias entrañas y no consiste en adoptar irreflexivamente un aparato matemático ya conocido y una terminología ya elaborada.

–Lamentablemente, a menudo ocurre lo contrario. En algunos libros escritos bajo la consigna de matematización de una ciencia determinada, en esencia no hay nada, a excepción de un montón de fórmulas y “malabarismo” con palabras impresionantes, como invariante, multidimensional, isomorfismo…

–…, espacio curvado, campo vectorial…

–ыste no es el objetivo de la matematización. Sin temor a repetir lo ya dicho, yo intentaría nuevamente subrayar dos principios básicos de la matematización de cualquier ciencia. El primer principio consiste en la generalización de los resultados alcanzados por la esta ciencia y en la selección de ciertas afirmaciones fundamentales (si se quiere, llamémoslas axiomas), que contienen la descripción exacta y completa de las interrelaciones entre los conceptos elementales de esta ciencia y que, simultáneamente, sirven de definición de estos conceptos. El segundo principio consiste en la consolidación de los principios de deducción según los cuales toda afirmación de la ciencia dada se deducirá lógicamente a partir de sus axiomas.

–Desde luego, recomendar todo esto es muy fácil, pero es muy difícil llevarlo a cabo. Por el camino surgen muchos problemas. ?`Posee la ciencia dada los conceptos fundamentales necesarios para desarrollar el proceso descrito? Si ella posee estos conceptos y sobre la base de éstos se ha logrado formular cierto sistema de axiomas, entonces surge la pregunta sobre la completitud de este sistema. Esto significa que se debe determinar si este sistema permite deducir cualquier afirmación que es capaz de formular la ciencia dada o, al menos, aquéllas que ya son conocidas. Y si el sistema es incompleto, entonces se debe hallar alguna forma de completarlo. Tarde o temprano se obtendrán nuevos resultados que harán este completamiento absolutamente necesario. Todo especialista que desee ver su disciplina entre las ciencias exactas deberá trabajar en la resolución de estos problemas.

–En lo que se refiere a las fórmulas… bueno, esto ya no depende de nosotros…

–Y con esta frase, que justifica el nombre de nuestro libro, permítanos, estimado lector, concluir.

Autores

Iuri Vasílievich Pujnachov (1941 – 2005)

Doctor en Ciencias Físico-matemáticas. Desde 1970 hasta 1989 dirigió una de las secciones de la revista de divulgación científica “Nauka i zhizñ” (“Ciencia y vida”) y desde 1989 fue consultante científico de la misma. Miembro de la Unión de Periodistas (a partir de 1974). En varias ocasiones fue galardonado con diplomas de la sociedad “Znanie” (1978, 1980, 1988). Desempeñу la función de consejero del Ministro de Ciencia y Tecnología de la Federación Rusa entre 1997 y 1999. Fue fundador y primer presidente de la Asociación de Arte Campanario de Rusia (1989). Trabajador emérito de la Federación Rusa en el campo de la cultura.

I. V. Pujnachov es asimismo autor de los libros “Enigmas del metal sonoro”, “Las cuatro dimensiones del arte”, “Imágenes matemáticas” (conjuntamente con Iu. P. Popov), “Siete seminarios de análisis matemático”. A partir de 1988 dirigió varios ciclos de programas en el canal de televisión “Universidades de Rusia”, entre los que podemos mencionar “Diálogo con la computadora”, “Terminal”, “Mundo abierto”, “Las fronteras del futuro”. Además, escribió guiones y filmó películas de contenido científico-técnico en las que se presentan invenciones de las compañías rusas relacionadas con la aplicación de las ciencias fundamentales en la tecnología.

Iuri Petróvich Popov

Nació en el año 1941. Finalizó sus estudios con “Sobresaliente Summa Cum Laude” en la facultad de aeromecánica del Instituto de Física y Tecnología de Moscú en 1964. En 1971, después de defender su tesis de posgrado se incorporó al Instituto de Matemática Aplicada de la Academia de Ciencias de la URSS (actualmente Instituto de Matemática Aplicada “M. V. Kéldysh” de la Academia de Ciencias de Rusia). En 1975 Iu. P. Popov fue elegido secretario científico de este instituto, en 1980 ocupó el cargo de subdirector y desde 1999 es su director. En 1997 fue elegido miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Rusia. Ha sido galardonado con el Premio Estatal de la URSS y el Premio del Consejo de Ministros de la URSS. Fue condecorado con la Orden del Estandarte Rojo, la Orden de la “Insignia de Honor” y la Orden de Honor. Es catedrático del Instituto de Física y Tecnología de Moscú.

Iu. P. Popov es autor de más de 200 trabajos científicos. Sus intereses científicos principales están relacionados con la creación de modelos matemáticos y algoritmos eficaces de cálculo y la aplicación de los mismos en problemas de dinámica magnética, dinámica de gases, hidrodinámica gravitatoria, astrofísica, síntesis termonuclear controlada, física del plasma, dinámica de líquidos viscosos, etcétera.