Matemática para estudiantes preuniversitarios: Problemas de alta dificultad. 300 problemas detalladamente resueltos

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Índice
Prólogo del autor
1 Aplicación de métodos no estándares de resolución de ecuaciones y desigualdades
1.1. Desigualdad de Cauchy
1.2. Desigualdad de Bernoulli
1.3. Desigualdad de Cauchy–Buniakovski
1.4. Binomio de Newton
1.5. Módulo
1.6. Transformaciones trigonométricas
1.7. Logaritmos
2 Problemas de los exámenes de admisión
2.1. Divisibilidad
2.2. Cálculo de una suma
2.3. Cálculos aritméticos
2.4. Transformaciones algebraicas y trigonométricas
2.5. Demostración de desigualdades
2.6. Ecuaciones racionales
2.7. Ecuaciones irracionales
2.8. Ecuaciones con módulos
2.9. Sistemas de ecuaciones
2.10. Resolución de desigualdades
2.11. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
2.12. Desigualdades exponenciales y logarítmicas
2.13. Sistemas exponenciales y logarítmicos
2.14. Ecuaciones y sistemas trigonométricos
2.15. Desigualdades trigonométricas
2.16. Ecuaciones y desigualdades mixtas
2.17. Desigualdades en la geometría
2.18. Problemas geométricos
2.19. Valores extremos de las funciones
3 Método de inducción completa
Bibliografía
Prólogo del autor
En los exámenes de admisión en las universidades se permite utilizar cualquier método conocido para resolver los problemas de matemática propuestos. En este libro hemos incluido métodos no estudiados en la escuela (los denominados métodos no estándares) cuya utilización, por lo general, permite simplificar la resolución de los problemas de alto grado de dificultad.

La experiencia de muchos años de trabajo del autor con los estudiantes que aspiran a ingresar en la universidad, así como el análisis de los problemas de propuestos en las pruebas generales y en los exámenes de admisión de los centros de educación superior de la República de Bielorrusia, demuestran que los estudiantes preuniversitarios deben estudiar por sí mismos los métodos matemáticos basados en los conceptos y métodos que no figuran en el programa de matemática. Entre estos conceptos matemáticos tenemos, por ejemplo, las desigualdades de Cauchy, Cauchy–Buniakovski y Bernoulli, el binomio de Newton de n-ésimo grado y el método de inducción completa.

En este libro presentamos 300 problemas de alto grado de dificultad cuya resolución está basada en la aplicación de las desigualdades numéricas señaladas anteriormente y el método de inducción completa. Algunas ecuaciones y desigualdades se resuelven eficientemente aplicando métodos funcionales, completando una expresión para obtener un cuadrado perfecto, introduciendo un parámetro o aplicando una sustitución trigonométrica.

Este libro es una edición revisada y aumentada del texto del autor Matemática para los estudiantes preuniversitarios. Problemas de alto grado de dificultad (Minsk, Aversev, 2002) y contiene gran cantidad de problemas nuevos, muchos de los cuales han sido tomados de los exámenes de admisión efectuados en la Universidad Estatal de Bielorrusia (Minsk) durante los últimos cinco años.

Primeramente se exponen los conceptos y resultados fundamentales necesarios para aplicar los métodos no estándares. Seguidamente se dan las condiciones y las soluciones de problemas de alto grado de dificultad tomados de diferentes ramas de la matemática (álgebra, trigonometría, geometría) contempladas en el programa de matemática de los centros de educación preuniversitaria. El último capítulo de este libro está dedicado a la descripción y aplicación del método de inducción matemática.

Valeri Pávlovich Suprún
Profesor de la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal de Bielorrusia, Vicedecano del Área de Investigación Científica, Doctor en Ciencias Técnicas.
V. P. Suprún es un conocido especialista en matemática discreta y computación. Ha publicado más de 60 artículos científicos sobre matemática discreta y es autor de más de 200 inventos en el campo de la automatización y la computación. Fue galardonado con la Medalla de Oro y el Diploma de la Organización Mundial de la Propiedad Intelectual (OMPI) como “Mejor Inventor de Bielorrusia del año 2006”.

Es autor de varios libros de matemática para estudiantes preuniversitarios. Regularmente publica artículos en revistas especializadas sobre preparación para los exámenes de admisión a centros de educación superior.