Lecciones de Matemática: Análisis

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Prólogo
1 Material preliminar
1.1. Combinatoria
1.2. Binomio de Newton
1.3. Polinomios
1.4. Números complejos
1.5. Función exponencial y función logarítmica
1.6. Conjuntos
I Análisis
2 Sucesiones y límites
2.1. Conceptos preliminares
2.2. Teorema del emparedado
2.3. Criterio de Cauchy
2.4. El número e y otros límites
2.5. Lemas de Bolzano–Weierstrass y de Heine–Borel
2.6. Límite de una función
2.7. Continuidad
2.8. Series numéricas
2.9. Hipnosis y matemática
3 Derivación
3.1. Derivada
3.2. Reglas de derivación
3.3. ї`Para qué son necesarias las derivadas?
3.4. Deducción de fórmulas
3.5. Diferenciales
3.6. Teorema del valor medio
3.7. Fórmula de Taylor
3.8. Monotonía, convexidad, extremos
3.9. Ecuaciones diferenciales
3.10. Eliminación de indeterminaciones
3.11. Contraejemplos
4 Funciones de n variables
4.1. Espacio n-dimensional
4.2. Escollos de la multidimensionalidad
4.3. Límite y continuidad
4.4. Límites reiterados
4.5. Derivadas parciales y diferencial
4.6. Diferenciales de órdenes superiores. Serie de Taylor
4.7. Gradiente
4.8. Teorema del valor medio
4.9. Funciones vectoriales
4.10. Análisis lineal
4.11. Normas equivalentes
4.12. Principio de contracción
4.13. Puntos fijos de operadores discontinuos
4.14. Diferenciabilidad de un operador
4.15. Funciones inversas y funciones implícitas
4.16. Optimización
4.17. Multiplicadores de Lagrange
5 Integración
5.1. Definiciones y cuadro general
5.2. Especificaciones y formalismos
5.3. Teoremas del valor medio
5.4. Métodos de integración
5.5. Ecuaciones diferenciales
5.6. Integrales impropias
5.7. Integrales dependientes de un parámetro
5.8. Integrales dobles
5.9. Integrales múltiples
5.10. Problemas de mecánica
6 Series funcionales
6.1. Convergencia uniforme
6.2. Series de potencias
6.3. Desarrollos ortogonales
6.4. Series de Fourier
6.5. Integral de Fourier
II Resumen y complemento
7 Elementos de análisis vectorial
7.1. Coordenadas y orientación
7.2. Producto vectorial
7.3. Cinemática
7.4. Divergencia
7.5. Operador de Hamilton
7.6. Circulación
8 Del número al espacio funcional
8.1. Números reales
8.2. La dificultad del infinito
8.3. Caracterización de los conjuntos
8.4. Medida de Lebesgue
8.5. El axioma de elección
8.6. Espacios funcionales
8.7. El teorema de Jordan y la paradoja de Brouwer
9 Topología y puntos fijos
9.1. La ideología del recubrimiento
9.2. Campos vectoriales homotópicos
9.3. Teoremas fundamentales
9.4. Resolubilidad de ecuaciones
9.5. Orientación
9.6. Índices y número algebraico de ceros
9.7. Campos impares
9.8. Vectores propios
9.9. Funciones inversas e implícitas
10 Funciones analíticas
10.1. Sobre el misterio de los números complejos
10.2. Diferenciabilidad
10.3. Propiedades elementales
10.4. Integrales de contorno
10.5. Integral de Cauchy
10.6. Regularidad
10.7. Prolongación analítica
10.8. Funciones multiformes
10.9. Sobre lo que aún no hemos hablado

Notaciones

Índice de materias