Lecciones de Matemática: Algebra lineal

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Índice

Introducción a la serie”Lecciones de Matemática”
Prólogo al tercer tomo

1 Geometría analítica
1.1. Coordenadas y vectores
1.2. Descripción de objetos geométricos
1.3. Producto vectorial
1.4. Determinantes
1.5. Matrices y transformaciones
1.6. Rectas y planos
1.7. Problemas geométricos
1.8. Curvas y superficies de segundo grado

2 Vectores y matrices
2.1. Ejemplos de problemas lineales
2.2. Vectores
2.3. Reconocimiento de imágenes
2.4. Aplicaciones lineales y matrices
2.5. Matrices rectangulares
2.6. Dos ejemplos
2.7. Transformaciones elementales
2.8. Determinantes
2.9. Sistemas de ecuaciones
2.10. Problemas y complementos

3 Transformaciones lineales
3.1. Transformación de coordenadas
3.2. Valores propios y espacios complejos
3.3. Vectores propios
3.4. Algunos elementos de teoría espectral
3.5. Espacios lineales
3.6. Operaciones con subespacios
3.7. Problemas y complementos

4 Formas cuadráticas
4.1. Formas cuadráticas
4.2. Matrices y formas definidas positivas
4.3. Inercia y signatura
4.4. Extremo condicional
4.5. Números singulares
4.6. Bases biortogonales
4.7. Espacios duales
4.8. Transformaciones y tensores
4.9. Problemas y complementos

5 Representaciones canónicas
5.1. Matrices unitarias
5.2. Triangulación de Schur
5.3. Formas de Jordan
5.4. Polinomio anulador
5.5. Subespacios radicales
5.6. Teorema de Hamilton–Cayley
5.7. lambda-matrices
5.8. Problemas y complementos

6 Funciones matriciales
6.1. Series matriciales
6.2. Norma de vectores y matrices
6.3. Radio espectral
6.4. Convergencia de las iteraciones
6.5. Funciones como series
6.6. Exponencial de una matriz
6.7. Algoritmos finitos
6.8. Problemas y complementos

7 Ecuaciones matriciales
7.1. Problemas típicos
7.2. Producto de Kronecker
7.3. Ecuaciones

8 Inecuaciones
8.1. Teorema de las alternativas
8.2. Conjuntos convexos y conos
8.3. Teoremas de intersección
8.4. P-matrices
8.5. Programación lineal
8.6. Problemas y complementos

9 Matrices positivas
9.1. Semiorden y monotonía
9.2. Teorema de Perron
9.3. Irreducibilidad
9.4. Matrices con inversa positiva
9.5. Operador de desplazamiento. Estabilidad
9.6. Matrices imprimitivas
9.7. Matrices estocásticas
9.8. Cono de matrices definidas positivas
9.9. Problemas y complementos

10 Métodos numéricos
10.1. Objeto de estudio
10.2. Errores de cálculo y número de condición
10.3. Estimación superior y estimación en probabilidad
10.4. Perturbación del espectro
10.5. Métodos iterativos
10.6. Cálculo de los valores propios

11 Resumen de las definiciones y resultados fundamentales
11.1. Geometría analítica
11.2. Vectores y matrices
11.3. Transformaciones lineales
11.4. Formas cuadráticas
11.5. Representaciones canónicas
11.6. Funciones matriciales
11.7. Inecuaciones
11.8. Matrices positivas
Abreviaturas y notaciones
Bibliografía
Índice de materias

Para estudiar normalmente cualquier disciplina matemática son necesarios, al menos, cuatro ingredientes:

[1)] un maestro con el que se pueda conversar;

[2)] un libro de texto habitual, lo suficientemente detallado;

[3)] un libro de problemas normal y corriente;

[4)] un libro de texto no sujeto a rutina, que ofrezca una imagen general, muestre los motivos, los enlaces, nos diga para qué es necesaria cada cosa.

El sistema educativo nunca ha llegado a ocuparse de una forma contundente del cuarto punto. Evidentemente, este objetivo se ha perseguido más de una vez e incluso se ha intentado lograr, solo que en la mayoría de los casos se ha pretendido conservar simultáneamente las funciones inherentes al libro de texto.

Esta “sobrecarga” hace que el centro de atención se desplace, y que, ya desde el segundo o tercer capítulo, las intenciones iniciales comiencen a “navegar a la deriva” sin llegar a alcanzar nunca el resultado deseado. Tales objetivos sólo son factibles en el “mundo de las ideas”; el resultado de la integración de una raqueta de tenis con una mancuerna es un artefacto que, aunque no salte a la vista, no prestará adecuadamente las funciones de ninguna de las dos.

La serie “Lecciones de Matemática” ha sido creada con el objetivo de satisfacer precisamente las condiciones del cuarto punto. La idea central de esta serie es la economía de palabras y de medios. Tras las declaraciones de brevedad y claridad, es verdad que los 20 tomos planificados pueden causar una impresión diametralmente opuesta, pero esa considerable cantidad se debe no al exceso de detalles, sino a la formidable extensión de la matemática.

Es necesario indicar a quién está dirigida esta serie. Decir que está orientada a todos podría parecer ingenuo, pero en cierta medida así es.

Un libro de apariencia asequible y con demostraciones de evidente estructura: un libro así siempre gusta tenerlo a mano. No es un secreto que incluso los especialistas del más alto nivel han de esforzarse considerablemente para dominar los campos de la matemática que se encuentran fuera de su propia especialidad. Nuestra serie ofrece un camino corto que facilita tanto asimilar rápidamente nuevos temas como refrescar los que ya se estudiaron en su día.

?`A quién está destinada esta serie: a los fuertes o a los débiles? ?`A los centros de enseñanza habituales o a los especializados en matemática o física? De nuevo podemos responder que a todos. Puede parecer extraño, pero nuestro objetivo no es reglamentar qué es lo que se debe saber. El material se describe con ayuda de un lenguaje sencillo, de manera simple y clara, con el único fin de que cualquier persona pueda extraer algo útil para sí misma y seguir adelante.

La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar de una nueva forma; no porque el material a asimilar haya aumentado demasiado, sino porque en la vida han aparecido muchos otros temas de interés; por este motivo, casi nadie está dispuesto a dedicarle mucho tiempo a algo en particular. La serie “Lecciones de Matemática” pretende ser un experimento en esta dirección. El tiempo dirá si es acertado o no. De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas “ruedas”, el mismo “volante”, el mismo contenido matemático, pero con un aspecto diferente.

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Prólogo al tercer tomo

Si hay algo capaz de dar una idea clara de la matemática superior, es el álgebra lineal.

Aquí, la barrera que impone la vida cotidiana se supera con facilidad. Y resulta que hay cosas sorprendentes que se encuentran no en la lejanía, sino al alcance de la mano.

Por supuesto, para asimilar el material es necesaria la presencia de determinada componente del vector de intereses vitales, así como cierta voluntad para superar dificultades y, claro está, tiempo. Imagínese que usted acaba de llegar a vivir a una ciudad desconocida. Un par de días recorre las calles principales, observa el panorama desde una torre. ?`Acaso esto es suficiente para conocer la ciudad? Para conocerla es necesario recorrerla a pie. Muchas veces, a todo su largo y ancho, cuando llueve y cuando nieva. Independientemente del estado de ánimo. Hay que acostumbrarse a la gente, ir de compras, viajar en el tranvía cuando sea necesario y simplemente para pasear. Y, entonces, cuando por milésima vez salga de su casa, usted verá de pronto una ciudad conocida.

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Opiniones de los lectores de la serie

Para comprender una materia es necesario despo-jarla de los detalles, desnudar su estructura central, comprender cómo se llegó a la idea de uno u otro teorema. Éste es un trabajo arduo, y no siempre se dispone de las fuerzas y el tiempo necesarios para llevarlo a cabo. En los libros de la serie “Lecciones de Matemática”, precisamente éste es el trabajo realizado por el autor.

La popularidad de los libros de V. Boss entre los estudiantes y el profesorado de Rusia es fácil de explicar. En sus libros se transmite lo que aún no se ha llegado a asimilar, lo que no se encuentra en otros libros: visión general, motivación e interreílación. Y lo más importante: la facilidad con la que se accede a cualquier tema.

El contenido de todos los libros ha sido planificado cuidadosamente. Los temas se entrelazan con una técnica impecable. Las demostraciones extensas han sido comprimidas hasta obtener unas pocas líneas de razonamientos matemáticos. Es difícil creer que una sola persona haya sido capaz de cumplir una tarea de tal envergadura: exponer toda la matemática en tan sólo 20 tomos de esta clase.

Las “Lecciones de Matemática” de V. Boss constituyen una excelente y muy completa colección. Como libros de texto, no siempre se adaptan a las normas pedagógicas tradicionales. Posiblemente sea esto lo que tanto atrae a los lectores.

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La gran avalancha de información que nos abruma hoy hace que los instrumentos del ayer dejen de desempeñar su función. Por esta razón, es necesario aprender a estudiar de una nueva forma. La serie “Lecciones de Matemática” pretende ser un experimento en esta dirección. El tiempo será juez de si fue o no acertado. De todos modos, esta serie es un producto de nueva generación: las mismas “ruedas”, el mismo “volante”, el mismo contenido matemático… pero con un aspecto diferente.

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Libros de la serie “Lecciones de Matemática” de V. Boss publicados ya en ruso:

1. Análisis. 2. Ecuaciones diferenciales. 3. Álgebra lineal. 4. Probabilidad. Información. Estadística. 5. Análisis funcional. 6. De Diofanto a Turing. 7. Optimización. 8. Teoría de grupos. 9. Funciones de variable compleja. 10. Búsqueda exhaustiva y algoritmos efectivos. 11. Ecuaciones de la física matemática. 12. Contraejemplos y paradojas. 13. Topología. 14. Teoría de números. 15. Operadores no lineales y puntos fijos. 16. Conjuntos, teorías, modelos