La matemática elegante. Problemas y soluciones detalladas

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Índice
Prólogo
Parte I. La matemática de cada día
Capítulo 1. A travós del cristal del tiempo
La clave de las demostraciones en la matemática de la Antigüedad: “¿Mira!”
Una mirada al pasado
Primero “mirar”, despuós “resolver”
Evidente para la vista, pero no tan claro para la mente
Juegos con números
Suma de sumas
La tabla de Pitágoras
El esplendor de la lógica
Reducción al absurdo
El problema matemático de la existencia
El poderío práctico de la matemática
Los ritmos en la práctica
Soluciones, respuestas y comentarios
Bibliografía
Capítulo 2. ¿Por quó resulta fascinante un problema?
Problemas-fábula
Riendas sueltas a la fantasía
¿En contradicción con el sentido común?
La perspicacia matemática
Graffiti en los márgenes
La alegría del “eureka”
Resoluciones con enfoque inesperado
El encanto de las miniaturas
En un problema todo debe ser hermoso
Con el mínimo de herramientas
Simplicidad aparente
Motivos elegantes
El motivo de la serie natural
El motivo del círculo
La armonía de la simetría
El motivo ZIP
Conjuntos de problemas
El motivo del complemento
Matemática de facto
La armonía del número y la forma
Tres bisectrices
El problema de Brocard
Jugando con la intuición
Veni, Vidi, Vici
Adivinar el lugar especial
Presentimiento de la respuesta
La imaginación desafía la intuición
Problemas con nombre propio
Humor
Etcótera
Soluciones, respuestas y comentarios
Bibliografía
Capítulo 3. Computadora-numeroscopio
Espiral polifacótica
Algoritmo de puntilla
Soluciones, respuestas y comentarios
Bibliografía
Parte II. Temas de olimpiadas
Capítulo 4. Facetas de la maestría
Inducción completa
Descenso infinito
Ascenso finito
Invariantes
Estimaciones
Construcciones auxiliares
El discreto encanto del problema resuelto
Soluciones, respuestas y comentarios
Bibliografía
Sobre la belleza, la matemática y no sólo eso (A manera de epílogo)
Prólogo
Correrá aún mucha agua…, antes de que la escuela descubra por fin que la matemática puede ser una ciencia humana y que los alumnos pueden comprender tan bien a Euler como a Platón y Goethe.
A. Speiser. Del prólogo al libro de Leonhard Euler «Introducción al análisis de los infinitos»
Todas las personas que conocen la palabra «matemática» pueden ser clasificadas en tres categorías. En la primera categoría están los idealistas, en la segunda, los nihilistas y en la tercera se encuentran todos los demás.

Los idealistas, claro está, se inclinan a idealizar todo lo que hacen. «En el mundo no hay lugar permanente para la matemática antiestética», afirmaba uno de los más brillantes representantes de este grupo, el excelente matemático inglés Godfrey Harold Hardy (1877–1947). Sin embargo, su afirmación se puede interpretar de otra manera: los matemáticos profesionales deben mostrar refinamiento a la hora de elegir sus prioridades y no dedicarse a lo primero que encuentren en la abundancia que reina en su ciencia favorita.

«Los matemáticos son como los franceses: todo lo que se les dice lo traducen a su idioma e inmediatamente se convierte en otra cosa», solía bromear el notable representante del campo de los nihilistas, el gran poeta alemán Johann Wolfgang von Goethe (1749–1832). En parte, los mismos matemáticos dedicados desmedidamente al formalismo son culpables de esto, pero también lo son los pedagogos obstinados que han tenido la posibilidad propicia de educar a nihilistas convencidos.

Todos los demás, entre ellos los autores de este libro, se inclinan a concebir la vida tal como es. Al igual que el fotógrafo o el artista que están en constante búsqueda de un tema inesperado, una perspectiva, un juego de luz y sombra, nosotros hemos intentado destacar de la diversidad de temas y argumentos a nuestro alcance, aquéllos que nos han motivado por su estética. Evidentemente, nuestra opinión es puramente subjetiva, de modo que los lectores pueden no estar de acuerdo con ella y complementar la modesta colección que aquí hemos reunido con sus propias impresiones y hallazgos. Este libro se debe tomar como una invitación a dialogar sobre un tema importante. Es el primer paso de un gran trabajo. Esperamos que el tema que hemos iniciado crezca con las ideas de los lectores y que el libro se vuelva a editar, enriqueciéndose con nueva información.

Sobre la estructura del libro
La mayoría de los problemas del libro han sido tomados de diversas fuentes, las cuales se dan en la bibliografía de cada capítulo. Cuando el nombre del autor del problema es conocido, lo hemos indicado. Algunos problemas son tan atractivos que se han convertido en parte del folclore matemático. Es casi imposible de establecer quiénes son los autores de estos problemas «folclóricos», por ello estaremos muy agradecidos a todos aquéllos que nos ayuden a precisar su origen.

En la primera parte del libro, «Matemática cotidiana», se presentan problemas que no requieren cálculos o razonamientos complejos, con raras excepciones acordadas especialmente en el texto. Estos problemas pueden ser interesantes para los escolares y para todos los aficionados a la matemática con una preparación mínima. El aporte principal a esta parte pertenece a Alexandr Zhúkov, desde 1998 director de la sección para escolares de la revista rusa de divulgación física y matemática «Kvant».

La segunda parte, «Temas olímpicos», puede ser de interés para los escolares aficionados a los problemas complejos y que encuentran en ellos belleza y fuente para su perfeccionamiento. Esta segunda parte fue preparada por Peter Samovol y Mark Applebaum, profesores de educación superior israelíes.

Expresamos nuestro sincero agradecimiento a Viacheslav Alexándrovich Galperin y a Ígor Fiódorovich Akúlich, la comunicación con los cuales enriqueció este libro con problemas, temas y argumentos interesantes. Agradecemos también a todos los demás autores cuyos problemas se han visto reflejados en nuestro trabajo. Asimismo, manifestamos nuestro agradecimiento a los traductores y redactores del libro en español Margarita Merino, Aldo Malca y Carlos Navarro, quienes no sólo realizaron un trabajo de traducción y redacción impecable, sino que hallaron y ayudaron a corregir varios errores e imprecisiones en el original.

Los autores
Autores
Alexandr Vladímirovich Zhúkov
Autor de varios libros de divulgación de matemática y programación, entre ellos “El omnipresente número “pi””, publicado en español por Editorial URSS en 2005, así como de una gran cantidad de artículos de divulgación en numerosas revistas, entre las cuales figura la revista físico-matemática “Kvant”, donde desde 1998 escribe una columna para escolares.

Peter Isaak Samovol

Profesor de matemática del Academic Kaye College of Education y de la Universidad Ben Gurión (Beer Sheva, Israel). Posee una colosal experiencia en la preparación de estudiantes para olimpiadas internacionales de matemática; se dedica a la metodología de trabajo con niños y jóvenes superdotados en el campo de la matemática.

Mark Vilen Applebaum

Jefe del Departamento de metodología de la enseñanza del Academic Kaye College of Education (Beer Sheva, Israel). Se dedica a la preparación de profesores de matemática para la escuela primaria y secundaria. Se especializa en el desarrollo de la criticidad y creatividad del pensamiento matemático de los estudiantes especialmente mediante la metódica del uso de problemas de investigación.