Geometría moderna: Métodos y aplicaciones. Geometría y topología de las variedades

Description

De la editorial
Prólogo a la primera edición
Prólogo a la segunda edición
1 Geometría en una región de un espacio. Nociones fundamentales
1. Sistemas de coordenadas
1. Coordenadas cartesianas en un espacio
2. Cambio de coordenadas
2. Espacio euclídeo
1. Curvas en un espacio euclídeo
2. Formas cuadráticas y vectores
3. Espacios riemannianos y seudoriemannianos
1. Métrica de Riemann
2. Métrica de Minkowski
4. Grupos elementales de transformaciones de un espacio euclídeo
1. Grupos de transformaciones de una región
2. Transformaciones del plano
3. Movimientos de un espacio tridimensional
4. Otros ejemplos de grupos de transformaciones
5. Fórmulas de Frenet
1. Curvatura de curvas en el plano euclídeo
2. Curvas espaciales. Curvatura y torsión
3. Transformaciones ortogonales que dependen de un parámetro
6. Espacios seudoeuclídeos
1. Nociones elementales de la teoría especial de la relatividad
2. Transformaciones de Lorentz
2 Teoría de las superficies
7. Geometría de una superficie en un espacio
1. Coordenadas en una superficie
2. Plano tangente
3. Métrica en una superficie
4. Área de una superficie
8. Segunda forma fundamental
1. Curvatura de las curvas en una superficie definida en un espacio euclídeo
2. Invariantes de un par de formas cuadráticas
3. Propiedades de la segunda forma fundamental
9. Métrica de la esfera
10. Superficies espacialoides en un espacio seudoeuclídeo
1. Seudoesfera
2. Curvatura de superficies espacialoides en R13
11. Lenguaje de números complejos en la geometría
1. Coordenadas complejas y reales
2. Producto escalar hermítico
3. Ejemplos de grupos de transformaciones complejas
12. Funciones analíticas
1. Notación en variable compleja del elemento de longitud y del diferencial de una función
2. Cambios complejos de coordenadas
3. Superficies en un espacio complejo
13. Forma conforme de métricas de una superficie
1. Coordenadas isotérmicas. Curvatura de Gauss en coordenadas conformes
2. Forma conforme de la métrica de la esfera y del plano de Lobachevski
3. Superficies de curvatura constante
14. Grupos de transformaciones como superficies en un espacio n-dimensional
1. Coordenadas en un entorno de la unidad
2. Exponencial de una matriz
3. Cuaterniones
15. Transformaciones conformes de los espacios euclídeos y seudoeuclídeos multidimensionales
3 Tensores: Teoría algebraica
16. Ejemplos de tensores
1. Gradiente de una función numérica
2. Métrica riemanniana
17. Definición general de tensor
1. Ley de transformación de las componentes de tensores de rango arbitrario
2. Operaciones algebraicas con tensores
18. Tensores del tipo (0, k)
1. Representación diferencial de los tensores con índices inferiores
2. Tensores antisimétricos del tipo (0, k)
3. Producto exterior de formas diferenciales. Álgebra exterior
4. Tensores antisimétricos del tipo (k,0) (polivectores). Integral respecto a variables anticonmutativas
19. Tensores en un espacio riemanniano y seudoriemanniano
1. Operación de subir y bajar índices
2. Autovalores de una forma cuadrática
3. Operador *
4. Tensores en un espacio euclídeo
20. Grupos cristalográficos y subgrupos finitos de los grupos de rotaciones del plano y del espacio. Ejemplos de tensores invariantes
21. Tensores de segundo rango en un espacio seudoeuclídeo y sus autovalores
1. Tensores antisimétricos. Invariantes del campo electromagnético
2. Tensores simétricos y autovectores. Tensor energía-impulso del campo electromagnético
22. Comportamiento de los tensores respecto a las aplicaciones
1. Operación general de restricción de tensores con índices inferiores
2. Aplicación de espacios tangentes
23. Campos vectoriales
1. Grupos de difeomorfismos uniparamétricos
2. Exponencial de un campo vectorial
3. Derivada de Lie. Ejemplos
24. Álgebras de Lie
1. Álgebras de Lie y campos vectoriales
2. Álgebras de Lie matriciales más fundamentales
3. Campos vectoriales lineales
4. Campos invariantes por la izquierda definidos en los grupos de transformaciones
5. Métrica de Killing
6. Clasificación de las álgebras de Lie tridimensionales
7. Álgebras de Lie de los grupos conformes
4 Cálculo diferencial de tensores
25. Cálculo diferencial de los tensores antisimétrhcos
1. Gradiente de un tensor antisimétrico
2. Diferencial exterior de una forma
26. Tensores antisimétricos y teoría de la integración
1. Integración de formas diferenciales
2. Ejemplos de formas diferenciales
3. Fórmula de Stokes en forma general. Ejemplos
4. Demostración de la fórmula general de Stokes para el cubo
27. Formas diferenciales en espacios complejos
1. Operadores d’ y d”
2. Métrica de Kдhler. Forma de curvatura
28. Diferenciación covariante
1. Conexión euclídea
2. Diferenciación covariante de tensores de rango arbitrario
29. Diferenciación covariante y métrica
1. Transporte paralelo de los campos vectoriales
2. Geodésicas
3. Conexiones compatibles con una métrica dada
4. Conexiones compatibles con una estructura compleja
30. Tensor de curvatura
1. Tensor de curvatura general
2. Simetrías del tensor de curvatura. Tensor de curvatura generado por la métrica
3. Ejemplos: tensores de curvatura de espacios de dos y tres dimensiones; tensor de curvatura definido por la métrica de Killing
4. Ecuaciones de Peterson-Codazzi. Superficies de curvatura constante negativa y ecuación “seno de Gordon”
5 Elementos del cálculo de variaciones
31. Problemas de variaciones unidimensionales
1. Ecuaciones de Euler-Lagrange
2. Ejemplos: funcionales más fundamentales
32. Leyes de conservación
1. Grupos de transformaciones que preservan un problema variacional dado
2. Algunos ejemplos. Aplicaciones de las leyes de conservación
33. Formalismo de Hamilton
1. Transformación de Legendre
2. Sistemas de coordenadas móviles
3. Principios de Maupertuis y Fermat. Aplicaciones
34. Teoría geométrica del espacio fásico
1. Sistemas de gradiente
2. Corchete de Poisson
3. Transformaciones canónicas
35. Superficies de Lagrange
1. Haces de trayectorias y ecuación de Hamilton-Jacobi
2. Hamiltonianos del tipo funciones homogéneas de grado 1 respecto a los impulsos
36. Variación segunda de la ecuación de las geodésicas
1. Fórmula de la variación segunda
2. Puntos conjugados y condición de mínimo
6 Cálculo de variaciones multidimensional. Campos y sus invariantes geométricos
37. Problemas elementales del cálculo de variaciones multidimensional
1. Ecuaciones de Euler-Lagrange
2. Tensor energía-impulso
3. Ecuaciones de un campo electromagnético
4. Ecuaciones de un campo gravitatorio
5. Superficies mínimas: películas de jabón
6. Ecuación del equilibrio de una placa fina
38. Ejemplos de lagrangianos
39. Conceptos elementales de la teoría general de la relatividad
40. Representaciones espinoriales de los grupos SO(3) y O(3, 1). Ecuación de Dirac y sus propiedades
1. Automorfismos de las álgebras matriciales
2. Representación espinorial del grupo SO(3)
3. Representación espinorial del grupo de Lorentz
4. Ecuación de Dirac
5. Ecuación de Dirac en un campo electromagnético. Operador conjugación de la carga

41. Diferenciación covariante de campos con una simetría arbitraria
1. Transformaciones de gauge. Lagrangianos invariantes respecto a las transformaciones de
gauge
2. Forma de curvatura
3. Ejemplos fundamentales
42. Ejemplos de funcionales invariantes respecto a las transformaciones de gauge. Ecuaciones de Maxwell y de Yang-Mills. Funcionales con derivada variacional idénticamente igual a cero (clases características)

Bibliografía

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