Fundamentos matemáticos de la sinergética. Caos, estructuras y simulación por ordenador

Introducción

El obstáculo principal para la amplia utilización de la simulación matemática y del experimento computacional en la ciencia, la técnica y el control, es el déficit de especialistas calificados. La resolución de toda una serie de problemas importantes se ve frenada no por la falta de computadoras, sino por la insuficiencia de colectivos con un nivel de preparación adecuado.

Las exigencias impuestas a los especialistas en simulación matemática son bastante elevadas y, al mismo tiempo, contradictorias. Por una parte, se requiere que sean profesionales que comprendan profundamente un área de investigación concreta y suficientemente estrecha. Por otra, estos especialistas generalmente tienen que intervenir no como ejecutores, sino como científicos que ven el problema como un todo y están capacitados para precisar y, a veces, cambiar radicalmente el planteamiento del problema propuesto por físicos, químicos o biólogos. El trabajo en el campo de la simulación matemática presupone un estilo de pensamiento peculiar, en el cual la profundidad y la concreción se combinan con la amplitud y la comprensión de las ideas generales.

El éxito en la simulación matemática de la mayoría de los problemas serios se apoya en la terna modelo–algoritmo–programa, como en las tres ballenas mitológicas de los griegos.

Por eso, para trazar correctamente la estrategia de investigación es necesario comprender bien el instrumental disponible y los logros fundamentales en cada uno de los campos relacionados con el proyecto de investigación. Esto es muy importante, pues, por ejemplo, hoy la matemática computacional interviene cada vez con mayor frecuencia no sólo como un instrumento, sino también como una fuente de nuevas ideas en la simulación y las ciencias naturales. En este libro se destaca constantemente este aspecto.

El análisis de fenómenos noÍlineales constituye uno de los momento claves en la resolución de muchos problemas importantes, desde el perfeccionamiento de las tecnologías químicas y los problemas de la fusión termonuclear controlada, hasta los problemas actuales de la teoría cuántica de campos y la creación de nuevas generaciones de computadoras. En el vasto campo llamado actualmente ciencia noÍlineal o dinámica noÍlinealhan surgido sus propios enfoques originales, ideas y métodos nuevos. El objetivo de este libro es presentar esta disciplina a los estudiantes de los cursos superiores, de postgrado y a los especialistas interesados.

En los años 70 del siglo XX comenzó, y aún continúa, una revolución científica relacionada con el surgimiento de una nueva tecnología de investigación científica: el experimento computacional. El experimento computacional debe ser visto como un peldaño nuevo en el desarrollo de la simulación matemática, la cual ya ha penetrado en la mayoría de los campos de la ciencia.

El aporte principal del experimento computacional –la posibilidad de analizar los fenómenos noÍlineales de la física, la química, la biología, la sociología, etcétera– condujo al nacimiento de nuevas ideas, teorías y métodos, y al desarrollo de los enfoques interdisciplinarios. Esto, a su vez, ayudó a formular nuevos conceptos y descubrir fenómenos naturales maravillosos. Por lo visto, lo más admirable en el campo de la simulación consiste en que un número pequeño de modelos matemáticos relativamente simples proporciona la llave para la comprensión e investigación de una cantidad enorme de fenómenos diferentes. A tales modelos, denominados frecuentemente modelos básicos, así como a las concepciones nacidas durante su análisis, está dedicado este libro.

En la base del libro yace el material de las clases desarrolladas durante varios años en el Departamento de Métodos Numéricos de la Facultad de Matemática Computacional y Cibernética de la Universidad Estatal de Moscú «M.V.Lomonósov» (MGU) y en el Instituto Físico-técnico de Moscú (MFTI). La experiencia del trabajo con los estudiantes de postgrado y de cursos superiores ha mostrado que muchos de ellos tienen lagunas considerables en su formación profesional. Aun habiendo comprendido algunas cuestiones particulares y aprobado un conjunto de cursos generales y especiales, no tienen una noción muy clara del campo en el que se han de desempeñar, ni de las relaciones entre los modelos, algoritmos y problemas actuales. Tras el formalismo y los problemas concretos, a veces no logran ver las ideas y el contexto donde dichos problemas tienen sentido. Esto dificulta la lectura de la literatura científica original y, en ocasiones, no permite por mucho tiempo dar inicio a las investigaciones independientes.

Consideraré que he alcanzado mi objetivo si durante el trabajo con este libro los estudiantes de pregrado y postgrado logran eliminar las lagunas aunque sea parcialmente, o al menos toman conciencia de la existencia de éstas.

El estilo del libro está en gran parte determinado por mi experiencia docente. Algunas preguntas que por lo general los estudiantes comprenden rápidamente, se exponen en compendio. Se repasa una serie de resultados de la física matemática, la matemática computacional y la teoría de sistemas dinámicos, analizados en cursos anteriores, y sin los cuales es imposible el estudio de los fenómenos noÍlineales. Al mismo tiempo se analizan detalladamente algunos problemas importantes que no están suficientemente ilustrados o no se tratan en los textos de estudio.

El libro contiene muchos ejemplos e ilustraciones. Donde ha sido posible, se ha prestado especial atención a las ideas claves y modelos concretos, para cuyo estudio se crearon unos u otros instrumentos. En muchos casos hubo que sacrificar generalización, rigor y detalles técnicos en favor de la claridad.

El libro está destinado a los lectores interesados y activos. Por consiguiente, en cada capítulo se proponen varias fuentes bibliográficas, que van desde los textos de estudio estándares hasta monografías, resúmenes y artículos originales, los cuales ayudarán a conocer más profundamente el problema analizado. La bibliografía no pretende ser completa, se dan las fuentes más simples y accesibles. Para comodidad de los lectores la bibliografía va acompañada de comentarios que muestran qué se puede hallar y dónde.

Es muy importante que el lector no sólo sepa mucho, sino que también sea capaz de resolver problemas elementales relacionados con el análisis de los fenómenos noÍlineales. Por eso, en el libro se propone cerca de una centena de problemas utilizados en las clases.

El volumen del libro corresponde aproximadamente a un curso introductorio semestral acompañado de seminarios, dirigido a estudiantes de cursos superiores de matemática pura, matemática aplicada y física. Estos estudiantes ya han pasado los cursos de análisis matemático, álgebra lineal, física matemática, métodos numéricos y física teórica. Sin embargo, por el curso de simulación de fenómenos noÍlineales también se interesan los químicos, biólogos e ingenieros, quienes no poseen una preparación matemática tan sólida. Sus intereses, en cierta medida, también han sido considerados. En el libro se enfatizan ciertos resultados fundamentales del curso de matemática, en los cuales se apoya la exposición.

Solamente resta decir que el material propuesto refleja una pequeña parte de la ciencia noÍlineal, relacionada estrechamente con el experimento computacional, y representa apenas un fragmento de un campo vasto de investigaciones. La elección del material está determinada, en parte, por las pasiones subjetivas del autor.

El desarrollo de la ciencia del siglo XX mostró la necesidad de la construcción de muchos modelos distintos para la descripción de un mismo fenómeno u objeto, la necesidad de elaborar cuadros alternativos de la realidad. Nosotros estamos obligados a vivir no en un mundo de leyes absolutas, verdades en última instancia y concepciones universales. Por eso, los investigadores deben tratar con modelos y enfoques que fijan una cosa e ignoran muchas otras. Nosotros debemos jugar a crear mundos en los cuales se toma muy poco de nuestro «presente» complejo y confuso.

La avalancha de información provocada por las computadoras nos ha obligado a reflexionar sobre cómo entenderla, aceptarla, ordenarla y utilizarla. ?`Cómo disponer racionalmente de las posibilidades que se presentan ante nosotros y separar lo más interesante de lo simplemente interesante? La solución resultó paradójica: la salida consiste en elaborar enfoques interdisciplinarios, en crear nuevos mundos. El establecimiento y desarrollo de la cibernética, la sinergética y la dinámica noÍlineal, mostraron que esto no sólo es posible, sino interesante hasta cautivar. ?`Acaso no es asombroso que en las revistas de ciencia «noÍlineal» se puedan leer simultáneamente artículos de matemáticos, geógrafos, psicólogos y físicos? Ellos están asimilando el nuevo lenguaje noÍlineal escondido detrás de los problemas sueltos, las ecuaciones y los campos de investigación. Surge una especie de filosofía naturalista de la era computacional. Éste es un juego donde las apuestas son elevadas. En este juego es posible que se aclare cuál es el sentido que los investigadores atribuirán al verbo «comprender».

Considero un deber placentero expresar mi reconocimiento a mis maestros S.P.Kurdiúmov y A.A.Samarski, así como a mis colegas y estudiantes, quienes en gran parte determinaron el tipo de material y el estilo de la exposición. Estoy muy agradecido a V.G.Komarova por su gran ayuda en la preparación del manuscrito.

Autor

Gueorgui Guenádievich Malinietski

Doctor en ciencias físico-matemáticas. En la actualidad, el autor es uno de los especialistas más importantes a nivel mundial en el campo de la dinámica no-lineal; ha publicado más de 250 trabajos científicos y varios libros (editados en ruso, espaéol e inglés), entre los cuales cabe destacar: «Estructuras disipativas no-estacionarias y caos difusivo», «Fundamentos matemáticos de la sinergética. Caos, estructuras y simulación por ordenador», «Sinergética y pronós-ticos del futuro» y «Control de riesgos».

Sus trabajos más conocidos están relacionados con la teoría del caos difusivo, simulación de sistemas de educación, y proyectos de investigación relacionados con la creación de la «historia teórica».

Actualmente es vicedirector del Instituto de Matemática Aplicada «M. V. Kéldysh» de la Academia de Ciencias de Rusia, profesor del Instituto de Física Técnica de MoscÁ, creador y director de la especialización «Procesos no-lineales» en este instituto. En los Áltimos aéos se dedica al pronóstico de calamidades y catástrofes, así como al estudio de los fenómenos de crisis, basándose en los métodos de la dinámica no-lineal, y de la teoría de cauces y comodines.