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Índice
Introducción
Capítulo 1. Desigualdades para triángulos y cuadriláteros
1.1. Problemas elementales de máximo y mínimo
1.1.1. Propiedades extremales del punto medio de un arco de circunferencia
1.1.2. Propiedades extremales de la recta que pasa por un punto del interior de un ángulo
1.1.3. Dos círculos que se intersecan
1.2. Polígonos convexos
1.2.1. Algunas magnitudes que caracterizan la forma de un polígono
1.3. Desigualdades para triángulos
1.3.1. Desigualdades para triángulos rectángulos y acutángulos
1.3.2. Propiedades extremales de los triángulos isósceles
1.3.3. Un ángulo y un punto interior
1.3.4. Puntos extremales en un triángulo arbitrario
1.4. Propiedades extremales del triángulo regular
1.5. Demostración del teorema sobre las propiedades extremales del triángulo regular
1.5.1. Identidades y desigualdades algebraicas
1.5.2. Desigualdades para los ángulos
1.5.3. Desigualdades en las que se aplican las fórmulas trigonométricas
1.5.4. Demostración del teorema 1
1.5.5. Aplicaciones al álgebra
1.5.6. Desigualdades con medianas
1.5.7. Desigualdades con bisectrices
1.6. Otras desigualdades para triángulos
1.6.1. Algunos contraejemplos y desigualdades
1.6.2. Criterios para que un triángulo sea isósceles
1.6.3. Desigualdades para las medianas, las alturas y las bisectrices
1.6.4. Desigualdades para los triángulos acutángulos y rectángulos
1.7. Desigualdades para cuadriláteros
1.7.1. Paralelogramos y trapecios
1.7.2. Cuadriláteros inscritos y circunscritos
1.7.3. Propiedades extremales del cuadrado
1.7.4. Cuadriláteros arbitrarios
Capítulo 2. Desigualdades para polígonos y figuras convexos
2.1. Teoremas de Jung, Blaschke y Pál
2.2. Desigualdades para los polígonos convexos
2.2.1. Desigualdades isoperimétricas
2.2.2. Desigualdad de Jensen para las funciones convexas
2.2.3. Aplicación de las funciones convexas
2.2.4. Desigualdades para los ángulos de los polígonos convexos
2.3. Propiedades extremales de los polígonos convexos
2.4. Puntos extremales en los polígonos convexos
2.4.1. Distancias a los lados
2.4.2. Punto de L’Huillier
2.4.3. Distancias a los vértices
2.4.4. Generalizaciones del punto de Torricelli
2.4.5. Puntos extremales en los poliedros convexos
2.4.6. Sumas ponderadas de distancias
2.4.7. Suma de los cuadrados de las distancias
2.4.8. Polígonos inscritos
2.5. Cálculo rápido de diferentes medidas de los polígonos convexos
2.6. Simetrización de Minkowski
2.7. Desigualdades isodiamétricas
2.8. Polígonos de Reinhardt
2.9. Desigualdades isoperimétricas para figuras convexas
2.10. Simetrización de Steiner
2.10.1. Teoremas de redondeo
2.11. Problema de Dido
2.12. Figuras de ancho constante
2.13. Método de promedio
2.13.1. Rectas y curvas
2.14. Problemas sobre diámetros
2.14.1. Teorema de Turán y a-diámetros
2.14.2. Problema de Erdos–Vincze
2.15. Problema de Lebesgue sobre la cubierta mínima para figuras de un mismo diámetro
2.16. Problema de Borsuk
2.17. Aproximación de figuras convexas mediante polígonos
2.18. Sistemas lineales de figuras convexas. Áreas mixtas
2.19. Desigualdad de Brunn–Minkowski
2.20. Desigualdades con tres medidas lineales para figuras convexas
2.20.1. Figuras de menor perímetro entre todas las figuras de un mismo diámetro que contienen una figura
2.20.2. Desigualdades con tres medidas lineales para triángulos y cuadriláteros
Capítulo 3. Desigualdades para cuerpos convexos
3.1. Desigualdades para el tetraedro
3.2. Desigualdades para el paralelepípedo
3.2.1. Otras desigualdades para el tetraedro
3.3. Algunos teoremas sobre poliedros y cuerpos convexos
3.3.1. Algunos problemas de Steiner sobre áreas y volúmenes
Bibliografía
Índice de autores
Índice de materias
El autor
Serguéi Borísovich Gashkov
Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, profesor del Departamento de Matemática Discreta de la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú. Autor de dos obras de pronta edición en español en Editorial URSS («Aritmética computacional recreativa: la matemática y el arte del cálculo con los ordenadores y sin ellos» y «Aritmética computacional recreativa: algoritmos rápidos para operaciones con números y polinomios»). Es, asimismo, autor y coautor de los libros «¡Utiliza la matemática!», «Aritmética. Algoritmos. Complejidad de los cálculos», «Sistemas de numeración y sus aplicaciones», «Álgebra elemental moderna», «Introducción elemental a la criptografía elíptica», «Métodos criptográficos de seguridad de la información».
