Curso de geometría analítica

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Prólogo
1 Cálculo vectorial
1. Vectores. Operaciones con vectores
2. Dependencia lineal de vectores
3. Base, base coordenada, coordenadas de vectores y puntos
4. Dependencia lineal en coordenadas
5. Producto escalar de vectores
6. Transformación de las coordenadas de un vector y de un punto
7. Orientación del plano y área orientada de un paralelogramo
8. Orientación del espacio y volumen orientado de un paralelepípedo
9. Producto vectorial de vectores
10. Matrices ortogonales y transformación de coordenadas rectangulares
11. Ángulos de Euler y matrices ortogonales de tercer orden
12. Coordenadas polares en el plano y en el espacio
2 La recta y el plano
13. Ecuación paramétrica de la recta y el plano
14. Ecuaciones de primer grado como ecuaciones de rectas y planos
15. Disposición mutua de dos rectas y de una recta y un plano
16. Disposición mutua de dos rectas y de dos planos expresados mediante ecuaciones de primer grado
17. Ángulos entre vectores, rectas y planos
18. Distancia de un punto a una recta, de un punto a un plano y entre dos rectas que se cruzan
19. Sentido geométrico de las inecuaciones de primer grado
20. Haz de rectas en el plano y haz de planos en el espacio
21. Radiación de planos y radiación de rectas
22. Disposición de tres rectas en el plano y de tres planos en el espacio
3 Curvas y superficies de segundo grado
23. Curvas y superficies algebraicas y su grado
24. Reducción de curvas y superficies algebraicas
25. Curvas de segundo grado
26. Propiedad focal de la elipse y la hipérbola. Ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas
27. Propiedad de la directriz de la elipse, la parábola y la hipérbola
28. Superficies cilíndricas y cónicas, superficies de revolución
29. Superficies de segundo grado
30. Elipsoides, hiperboloides y sus propiedades fundamentales
31. Paraboloides y sus propiedades fundamentales
32. Generatrices rectilíneas del paraboloide hiperbólico
33. Generatrices rectilíneas del hiperboloide de una hoja
4 Invariantes ortogonales. Clasificación de las curvas y superficies de segundo grado
34. Polinomio característico, sus coeficientes y raíces
35. Determinante de un polinomio de segundo grado y sus propiedades
36. Clasificación de las curvas de segundo grado con ayuda de invariantes
37. Clasificación de las superficies de segundo grado con ayuda de invariantes
38. Centro de las curvas y superficies de segundo grado
39. Proporcionalidad de las ecuaciones de segundo grado que expresan una curva o superficie dada
40. Direcciones asintóticas de las curvas y superficies de segundo grado
41. Diámetros y planos diametrales de las curvas y superficies de segundo grado
41′. Direcciones y diámetros conjugados
42. Ejes de simetría y disposición de las curvas de segundo grado
42′. Ejes de simetría y disposición de las superficies de segundo grado
5 Transformaciones afines y ortogonales
43. Propiedades fundamentales de las transformaciones afines
44. Matriz, determinante y fórmulas de una transformación afín
45. Clasificación afín de las curvas de segundo grado
46. Clasificación afín de las superficies de segundo grado
47. Transformaciones isométricas y ortogonales
48. Clasificación ortogonal de las curvas de segundo grado
49. Clasificación ortogonal de las superficies de segundo grado
50. Estructura de las transformaciones ortogonales del plano
51. Estructura de las transformaciones ortogonales del espacio
52. Estructura de las transformaciones afines del plano y del espacio
6 Geometría proyectiva
53. Plano proyectivo y coordenadas proyectivas de puntos y rectas
54. Curvas de segundo grado en el plano proyectivo
55. Transformaciones proyectivas y su relación con las transformaciones afines del plano
56. Transformaciones proyectivas y su relación con las transformaciones afines
57. Clasificación proyectiva de las curvas de segundo grado
Índice de materias
Prólogo
Ya hace mucho tiempo que la geometría analítica se considera una asignatura de carácter puramente docente; es decir, a excepción de nuevos enfoques metodológicos, en ella no se producen nuevos descubrimientos (a diferencia de lo que ocurre, por ejemplo, con el álgebra superior o el análisis matemático). Se considera que la geometría analítica es en esencia una asignatura “muerta”. Ella se imparte separadamente sólo porque los profesores de otras asignaturas, a pesar de necesitar los resultados y métodos de la geometría analítica, no desean dedicarse a su enseñanza. Además, como resultado del desarrollo actual de los métodos computacionales, su carácter aplicado, tan recalcado en épocas pasadas, ha perdido su importancia.

Sin embargo, ?`por qué en casi todas las universidades ella sigue siendo impartida como una asignatura aparte?

Mi convicción es que la geometría analítica muestra, mejor que todas las demás materias, el enlace de la geometría con el álgebra y del álgebra con la geometría. En cierta forma, es como un diccionario que nos ayuda a traducir el lenguaje de la geometría al lenguaje del álgebra, y viceversa. Si un determinado problema parece ser difícil en uno de estos lenguajes, es necesario traducirlo al otro, resolverlo y traducir la solución al lenguaje inicial. Las rectas y planos son ecuaciones de primer grado, los determinantes resultan ser áreas o volúmenes. La fuerza de la geometría consiste de hecho en que el hombre posee, por lo general, intuición geométrica innata, magníficamente desarrollada desde su niñez. El álgebra, por su parte, nos adiestra en los razonamientos lógicos y algorítmicos, sin los cuales no podríamos comprender, y menos aún demostrar, ningún resultado que posea cierto nivel de complejidad. Es por todo esto que la geometría analítica se estudia y debe seguir estudiándose.

El curso de geometría analítica que propongo ha sido impartido durante muchos años en la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal “M. V. Lomonósov” de Moscú. Todo parece indicar que el curso ha tenido éxito entre los estudiantes. El índice muestra claramente su contenido.

En su forma escrita, el curso, al igual que le ocurre a todos los libros de texto, se ha hecho algo más formal y, por lo tanto, más aburrido. En la matemática ocurre como en la poesía: con la imposición de un orden exhaustivo se pierde en belleza y, más aún, en encanto.

Profesor Iu.M.Smirnov
Iurii Mijáilovich Smirnov (1921–2007)

Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas. Nació en la ciudad de Kaluga (URSS). En 1939 ingresó en la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú. Durante la Segunda Guerra Mundial fue operador de radio en la Flota Norte de la Marina de Guerra de la URSS, donde recibió varias condecoraciones. Tras la guerra continuó sus estudios en la Universidad de Moscú y comenzó a participar en los seminarios del eminente matemático P. S. Alexándrov, a quien ya conocía antes de la guerra a través de otro gran matemático, A. N. Kolmogórov. Asimismo, simultaneó sus estudios con el trabajo de asistente en la Facultad de Mecánica y Matemática. Desde entonces la vida laboral de Iu. M. Smirnov estuvo ligada a la Universidad de Moscú, llegando a desempeñar el cargo de vicedirector del Departamento de Geometría Superior y Topología.

El profesor Smirnov fue autor de toda una serie de trabajos científicos que determinarían el ulterior desarrollo de varios campos de la topología. Sus trabajos sobre metrización de espacios topológicos, teoría de la dimensión, teoría de los espacios de proximidad y topología equivariante obtuvieron un alto reconocimiento a nivel mundial. El profesor Smirnov fue de hecho el creador de una teoría única y completa de la compactificación de espacios topológicos, basada en su teoría de los espacios de proximidad. Sus cualidades pedagógicas fueron destacadas en innumerables ocasiones. En el transcurso de su carrera pedagógica se defendieron bajo su dirección más de veinte doctores. En 1996 fue galardonado con el título de Profesor Emérito de la Universidad de Moscú.