Control óptimo y cálculo variacional

Description

Prólogo a la edición rusa
Notaciones
1 Principio del máximo de Pontriaguin
1.1. Planteamiento del problema
1.2. Principio del máximo de Pontriaguin
1.3. Principio del máximo para el problema de rapidez
1.4. Síntesis óptima
2 Método de programación dinámica. Ecuación de Bellman
2.5. Derivada determinada por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
2.6. Ecuación de Bellman para el problema de rapidez
2.7. Condiciones suficientes de optimalidad
2.8. Ecuación de Bellman para un problema con tiempo fijo
3 Sentido geométrico del principio del máximo de Pontriaguin
3.9. Relación entre la ecuación de Bellman y el principio del máximo de Pontriaguin
3.10. Ecuación en variaciones
3.11. Interpretación geométrica del principio del máximo
4 Existencia de soluciones para el problema de rapidez óptima
4.12. Ejemplo de no existencia de control óptimo (regímenes deslizantes)
4.13. Prolongación de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias
4.14. Ejemplo de no existencia de control óptimo (tendencia a infinito en un tiempo finito)
4.15. Teorema de existencia
4.16. Demostración del teorema de existencia
5 Problema fundamental del cálculo variacional clásico
5.17. Planteamiento del problema
5.18. Ecuación de Euler
5.19. Líneas geodésicas en una variedad riemanniana
6 Formalismo canónico
6.20. Transformación de Legendre
6.21. Variables canónicas
6.22. Sentido mecánico de las variables canónicas
6.23. Variación de un funcional con extremos móviles
6.24. Condiciones de transversalidad en el problema con extremos móviles
6.25. Condiciones de Weierstrass–Erdmann
6.26. Ecuación de Hamilton–Jacobi
6.27. Primera vuelta al principio del máximo de Pontriaguin
7 Teoría de la variación segunda
7.28. Planteamiento del problema
7.29. Condición necesaria de Legendre
7.30. Problema adjunto y definición de punto conjugado
7.31. Condiciones necesarias para que un funcional sea definido no negativo
7.32. Condiciones necesarias para que un funcional sea definido positivo
7.33. Continuación de la demostración del teorema 5
7.34. Ejemplos
7.35. Teorema de Jacobi sobre la envolvente
8 Condiciones suficientes de optimalidad
8.36. Condición necesaria de Weierstrass
8.37. Condiciones suficientes de mínimo débil
8.38. Formas diferenciales exteriores
8.39. Invariante integral de Poincaré–Cartan
8.40. Variedades lagrangianas
8.41. Campo de extremales. Integral invariante de Hilbert
8.42. Inmersión de una extremal en un campo y puntos focales
8.43. Índice de Morse
8.44. Segunda vuelta al principio del máximo de Pontriaguin
8.45. Problema de control óptimo con condiciones separadas para los extremos
8.46. Criterio de optimalidad en términos de dos soluciones de la ecuación de Riccati
Bibliografía
Índice de materias
Prólogo a la edición rusa
Enmemoria de Ludmila Filíppovna Zelíkina
Esta obra forma parte de una serie de libros y materiales didácticos escritos por los profesores del Departamento de Problemas Generales de la Teoría de Control de la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal “M.V.Lomonósov” de Moscú. El libro fue escrito a partir de las lecciones impartidas por el autor en dicha facultad.

Los principios fundamentales de la teoría de problemas extremales se exponen desde el punto de vista del formalismo canónico y el principio del máximo de Pontriaguin. Con el objetivo de facilitar la comprensión del material tratado, el autor introduce motivaciones de carácter heurístico y explica el sentido geométrico de las construcciones consideradas, haciendo de este modo honor a su divisa: “Claridad y exactitud”.

En esencia, el libro está formado por dos partes. En la primera parte (capítulos 1–4) se estudian el principio del máximo de Pontriaguin, el método de programación dinámica y la existencia de soluciones para los problemas de rapidez óptima. La segunda parte (capítulos 5–8) está dedicada al cálculo variacional. La clave para la comprensión de esta parte es la fórmula de variación del funcional con extremos móviles (sección 6.23), de la cual se deduce gran parte de los teoremas posteriores sobre las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad. Ambas partes del libro se pueden leer de manera independiente. La relación entre ellas se establece en dos pasos: en la sección 6.27 y en la sección 8.44.

Durante el tiempo transcurrido después de la publicación de la primera edición de este libro (1985), el autor escribió el libro [18], que parcialmente coincide con el presente libro, pero contiene una considerable cantidad de material complementario sobre las ecuaciones de Riccati y el cálculo variacional multidimensional (en particular, la relación con la geometría de las variedades de Lagrange–Grassmann y las regiones de homogeneidad clásicas de Cartan–Siegel en el espacio de varias variables complejas).

En la presente edición se ha agregado una nueva demostración (más simple que la demostración tradicional) del teorema de Morse, y algunos de los últimos resultados obtenidos por el autor sobre la relación entre el hessiano de la función de Bellman y la solución de la ecuación de Riccati. Basándose en estos resultados, en la sección 8.46 se dan las condiciones necesarias y suficientes de optimalidad en términos de dos campos de extremales.

Sobre la organización del material es necesario aclarar que la numeración de las secciones es continua. La numeración de las fórmulas en cada capítulo es independiente. Por ejemplo, la referencia 4.5 indica la fórmula (5) del capítulo 4.

Finalmente, quiero expresar mi más profundo agradecimiento a Iu.A.Belov, L.F.Zelíkina, E.L.Presman, A.O.Riémizov y V.M.Tijomírov por sus recomendaciones y la posibilidad de discutir diferentes aspectos que sin duda contribuyeron al mejoramiento de este libro.

M.I.Zelikin
Mijaíl Ilich Zelikin
Doctor en Ciencias Físico-matemáticas, Profesor de la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú. Especialista en ecuaciones diferenciales, control óptimo y teoría de juegos. Es autor de las monografías Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering (Boston: Birkhäuser, 1994), Espacios homogénos y ecuación de Riccati en el cálculo variacional (Moscú: Factorial, 1998 (en ruso)), Control theory and optimization I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Berlin: Springer, 2000. Vol. 86) y otras.