Análisis funcional en 1700 problemas y ejercicios

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Prólogo
1 Teoría de conjuntos
1.1. Operaciones con conjuntos
1.2. Producto cartesiano. Relaciones. Funciones
1.3. Aplicaciones inversas. Composición de aplicaciones
1.4. Conjuntos cociente
1.5. Conjuntos ordenados
1.6. Conjuntos dirigidos. Filtros. Bases de filtros
Problemas y ejercicios
2 Espacios topológicos
2.1. Topología. Entornos. Adherencias
2.2. Sucesiones convergentes. Continuidad
2.3. Subespacios. Espacios cociente. Productos de espacios
Problemas y ejercicios
3 Espacios métricos
3.1. Métrica. Topología del espacio métrico
3.2. Espacios métricos completos
3.3. Principio de contracción
3.4. Acotación. Compacidad
Problemas y ejercicios
4 Espacios vectoriales topológicos
4.1. Espacios vectoriales
4.2. Topología en un espacio vectorial
4.3. Espacios cociente. Productos. Sumas directas. Límites inductivos
Problemas y ejercicios
5 Operadores lineales en espacios vectoriales topológicos
5.1. Operadores lineales continuos y funcionales en espacios localmente convexos
5.2. Topologías en el espacio de las aplicaciones lineales continuas
5.3. Espacios reflexivos
Problemas y ejercicios
6 Espacios vectoriales normados
Problemas y ejercicios
7 Operadores lineales y funcionales en espacios normados
Problemas y ejercicios
8 Ecuaciones con operadores compactos en espacios de Banach
Problemas y ejercicios
9 Teoría de la integración
9.1. Funciones semicontinuas
9.2. Medida
9.3. Integrales superior e inferior respecto a una medida positiva
9.4. Funciones y conjuntos despreciables
9.5. Funciones y conjuntos integrables
9.6. Conjuntos y funciones medibles
9.7. Espacios Lp
9.8. Medidas generadas y teorema de Lebesgue–Radon–Nikodym
9.9. Descomposición canónica de una medida. Soporte de una medida. Medidas finitas
9.10. Producto de medidas. Teorema de Lebesgue–Fubini
Problemas y ejercicios
10 Espacios de Hilbert
10.1. Definición de espacio de Hilbert
10.2. Ortogonalidad y teorema sobre la proyección ortogonal
10.3. Bases ortonormales
10.4. Series de Fourier
10.5. Funcionales lineales y bilineales
10.6. Operadores lineales acotados
10.7. Subespacios invariantes y subespacios reductores
10.8. Convergencia
10.9. Espectro de un operador
10.10. Operadores lineales no acotados
10.11. Operadores adjuntos, simétricos y autoadjuntos
10.12. Operadores cerrados
Problemas y ejercicios
11 Álgebras de Banach
11.1. Definiciones y propiedades fundamentales
11.2. Ideales y homomorfismos de álgebras de Banach conmutativas
11.3. Teorema fundamental
11.4.C*-álgebras
Problemas y ejercicios
Bibliografía
Índice de notaciones
Índice de materias
Prólogo
Durante los últimos años, el curso universitario de análisis funcional se ha ampliado considerablemente como resultado de la introducción de sus ideas y métodos en diferentes ramas de la matemática (y no sólo de la matemática). Existen numerosas monografías y libros de texto dedicados al curso general de análisis funcional. Sin embargo, es difícil hallar un libro de problemas apropiado para las clases prácticas. La gran cantidad de problemas incluidos en diferentes monografías no constituye una salida de esta situación. Este libro intenta precisamente llenar el vacío existente en este aspecto.

El libro está formado por once capítulos, en los cuales se reflejan los temas principales del curso de análisis funcional impartido en los centros de estudios universitarios. Al inicio de cada capítulo se presentan las definiciones y teoremas fundamentales. Los autores han tratado de ofrecer problemas de diferentes grados de dificultad. Primeramente se ofrecen los problemas más sencillos, los cuales ilustran los conceptos principales y requieren para su solución sólo el conocimiento de las definiciones. Seguidamente se presentan problemas que requieren el dominio de los instrumentos y métodos del análisis funcional. En particular, a manera de problemas se propone demostrar una serie de teoremas conocidos del análisis funcional. No ha sido la intención de los autores incluir problemas demasiado complicados en este libro. Los problemas propuestos son, básicamente, de carácter didáctico. Muchos de ellos han sido resueltos en las clases prácticas impartidas en la Universidad Estatal de Bielorrusia. Considerable atención se ha dedicado a los contraejemplos (es decir, ejemplos que demuestran que una afirmación que a simple vista parece cierta es en realidad falsa).

La mayoría de los problemas presentados se pueden encontrar como ejercicios y ejemplos en diversas publicaciones. Una parte de los ejemplos presentados ha sido elaborada especialmente para el presente libro.

Los autores desean expresar su más profundo agradecimiento a S.G.Krein, V.I.Sóboliev, P.E.Sobolievski y S.S.Kutateladze, quienes leyeron el manuscrito de este libro e hicieron numerosas observaciones y valiosas sugerencias.

Los autores
Los autores
Anatoli Borísovich Antoniévich
Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, profesor del Departamento de Análisis Funcional de la Universidad Estatal de Bielorrusia. Es autor de más de 200 trabajos científicos de análisis funcional y sus aplicaciones, entre los cuales se destacan 11 monografías y libros de texto.
Pável Nikoláievich Kniáziev

Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, profesor del Departamento de Análisis Funcional de la Universidad Estatal de Bielorrusia. Autor de 50 trabajos científicos sobre teoría de operadores, incluidos tres libros.
Yákov Valentínovich Radyno

Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas, jefe del Departamento de Análisis Funcional de la Universidad Estatal de Bielorrusia y miembro de la Academia Nacional de Ciencias de Bielorrusia. Es autor de 130 trabajos científicos de análisis funcional y sus aplicaciones. Por sus méritos fue galardonado con el Premio Estatal de Bielorrusia.