Introducción a la teoría de grupos

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Introducción
1 Concepto de grupo
1.1. Conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos
1.1.1. Suma de conjuntos
1.1.2. Intersección de conjuntos
1.1.3. Aplicaciones (funciones)
1.1.4. Partición de un conjunto en subconjuntos
1.2. Ejemplos introductorios
1.2.1. Operaciones con números enteros
1.2.2. Operaciones con números racionales
1.2.3. Giros de un triángulo regular
1.2.4. Grupo de Klein de orden cuatro
1.2.5. Giros de un cuadrado
1.3. Definición de grupo
1.4. Teoremas elementales de la teoría de grupos
1.4.1. Producto de un número finito de elementos de un grupo. Primera regla de apertura de paréntesis
1.4.2. Elemento neutro
1.4.3. Elemento inverso
1.4.4. Observaciones sobre los axiomas de grupo
1.4.5. Terminología “multiplicativa” y “aditiva” en la teoría de grupos

2 Grupos de permutaciones
2.1. Definición de grupo de permutaciones
2.2. Concepto de subgrupo
2.2.1. Ejemplos y definición
2.2.2. Condición para que un subconjunto de un grupo sea subgrupo
2.3. Las permutaciones como aplicaciones de un conjunto finito sobre sí mismo. Permutaciones pares e impares
2.3.1. Las permutaciones como aplicaciones
2.3.2. Permutaciones pares e impares

3 Grupos isomorfos. Teorema de Cayley
3.1. Grupos isomorfos
3.2. Teorema de Cayley

4 Grupos cíclicos
4.1. Subgrupo generado por un elemento de un grupo. Definición de grupo cíclico
4.2. Grupos cíclicos finitos e infinitos
4.3. Sistemas de generadores

5 Grupos elementales de autosuperposiciones
5.1. Ejemplos y definición de grupos de autosuperposiciones de figuras geométricas
5.1.1. Autosuperposiciones de un polígono regular en su plano
5.1.2. Autosuperposiciones de un polígono regular en el espacio tridimensional
5.1.3. Definición general de grupo de autosuperposiciones de una figura en el espacio o en el plano
5.2. Grupos de autosuperposiciones de la recta y la circunferencia
5.3. Grupos de giros de la pirámide regular y de la bipirámide
5.3.1. Pirámide
5.3.2. Bipirámide
5.3.3. Caso de degeneración: grupos de jugadores de un segmento y de un rombo
5.4. Grupos de giros del tetraedro regulares
5.5. Grupo de giros del cubo y del octaedro
5.6. Grupo de giros del icosaedro y del dodecaedro. Una observación general sobre los grupos de giros de los políticos tradicionales

6 Subgrupos invariantes
6.1. Elementos equivalentes y subgrupos
6.1.1. Transformación de un elemento de un elemento por otro elemento
6.1.2. Grupo de giros del tetraedro
6.1.3. Elementos equivalentes
6.1.4. Transformación de un subgrupo
6.1.5. Ejemplos
6.2. Subgrupos invariantes (divisores normales)
6.2.1. Subgrupo invariante
6.2.2. Ejemplos

7 Aplicaciones homomorfas
7.1. Definición de aplicación homomorfa. Núcleo de una aplicación homomorfa
7.2. Ejemplos de aplicaciones homomorfas

8 Partición de un grupo en clases respecto a un subgrupo dado. Factor cociente
8.1. Clases izquierdas y clases derechas
8.1.1. Clases izquierdas
8.1.2. El caso de grupos finitos
8.1.3. Clases derechas
8.1.4. Coincidencia de las clases derechas con las izquierdas en el caso de los subgrupos invariantes
8.1.5. Ejemplos
8.2. Grupo cociente respecto a un subgrupo invariante
8.2.1. Grupo cociente
8.2.2. Teorema de las aplicaciones homomorfas

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