Grupos y álgebras de Lie en ejercicios y problemas

Description

Introducción

La teoría de grupos, en general, y la de los grupos de Lie en particular, es en el presente una de las partes más importantes de la matemática contemporánea. Su importancia crece continuamente en muchas otras áreas de las ciencias naturales: mecánica, física, química, biología, etc. Por eso es comprensible que el estudio de la teoría de los grupos de Lie y sus aplicaciones deba constituir una de las partes más importantes de la formación matemática. Existe toda una serie de excelentes libros de texto y monografías (los citados en la bibliografía recomendada constituyen una pequeña, pero la más sustancial parte de ellos), mas son pocos los estudios metodológicos de las diferentes partes de la teoría; se siente la necesidad especial de un manual de problemas sobre grupos de Lie. Este libro está destinado a llenar este vacío. La presente obra tiene como base la experiencia acumulada por el autor tras muchos años de impartición de esta asignatura, tanto del curso teórico como de las clases de problemas, en la facultad de mecánica y matemática de la Universidad de Kazañ.

El objetivo de este libro de problemas es ayudar al lector a dominar las principales nociones y métodos de la teoría de los grupos de Lie. Consideramos conveniente comenzar con los problemas sobre grupos topológicos; los capítulos 2–7 están dedicados a los grupos de Lie, álgebras de Lie y construcciones relacionadas con ellos. A los problemas de la teoría de las representaciones lineales están dedicados los capítulos 8 y 9. Los capítulos 10–12 están relacionados con los métodos de estudio de la estructura de las variedades de grupo. Al final, en los capítulos 13–15, el lector encontrará problemas relacionados con la teoría de los grupos de Lie de transformaciones de variedades diferenciables, en particular, con la teoría de los espacios homogéneos, donde se utilizan, además, los métodos infinitesimales. Desde el punto de vista de las aplicaciones, este material presenta un especial interés para la geometría diferencial, teoría de las ecuaciones diferenciales, mecánica teórica y teoría general de la relatividad.

Lamentablemente, por causas técnicas, en este libro no se pudieron incluir problemas sobre grupos de Lie de transformaciones en variedades con estructura especial (movimientos; automorfismos de las G-estructuras; transformaciones conformes, afines y proyectivas de los espacios de Riemann, de los espacios de conexión afín y de los espacios fibrados).

Para facilitar el uso del libro cada sección se inicia con una breve introducción teórica y ejemplos, en los cuales se describen detalladamente los diversos métodos de resolución de los problemas típicos. Asimismo, el libro contiene las soluciones de la mayor parte de los problemas o bien, en los casos mas complicados, indicaciones de los métodos para solucionarlos.

Respecto a las notaciones nos limitaremos a subrayar que hemos procurado que coincidan con las comúnmente adoptadas en la bibliografía existente.

Índice

Introducción

Capítulo 1.Grupos topológicos
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 2. Grupos de Lie
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 3. Álgebras de Lie
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 4. Álgebra de Lie de un grupo de Lie
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 5. Aplicación exponencial. Grupos de Lie locales
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 6. Homomorfismos y automorfismos
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 7. Grupos cocientes. Producto directo y semidirecto de grupos de Lie
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 8. Representaciones lineales
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 9. Representación adjunta
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 10. Grupo recubridor
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 11. Formas invariantes. Forma de Killing
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 12. Algunos tipos de álgebras de Lie
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 13. Grupos de Lie de transformaciones
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 14. Espacios homogéneos
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones

Capítulo 15. Órbitas. Invariantes. Variedades invariantes
§ 1. Conceptos y teoremas fundamentales
§ 2. Ejemplos de resolución de problemas
Ejercicios de autocontrol
Soluciones e indicaciones
Bibliografía