AntiDemidovich. Tomo 6 Matemática superior. Problemas resueltos. Variable compleja: integración y series

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Índice
Prólogo a “Variable compleja”
1 Integración en el plano complejo. Integrales de Newton–Leibniz y de Cauchy
§ 1. Integral de Newton–Leibniz
1.1. Primitiva
1.2. Integral de Newton–Leibniz
1.3. Propiedad lineal de la integral. Cambio de variable y fórmula de integración por partes
§ 2. Derivadas e integrales de Newton–Leibniz de órdenes arbitrarios
2.1. Definición de derivada n-ésima e integral n-ésima
2.2. Fórmula de Newton–Leibniz. Derivadas respecto a los límites de integración
2.3. Fórmula de Taylor
§ 3. Derivada de Fermat–Lagrange. Fórmula de Taylor–Peano
3.1. Derivada de Fermat–Lagrange
3.2. Teorema de Taylor–Peano. Teorema recíproco
§ 4. Integrales curvilíneas
4.1. Integración a lo largo de una curva suave orientada
4.2. Homotopía de dos curvas (caminos)
§ 5. Teorema e integral de Cauchy
5.1. Existencia de una primitiva local para una función analítica
5.2. Primitiva a lo largo de una curva
5.3. Teorema de Cauchy
5.4. Fórmula integral de Cauchy
§ 6. Integral tipo Cauchy
6.1. Definición y propiedad fundamental de la integral tipo Cauchy
6.2. Carácter armónico de las partes real e imaginaria de una función analítica. Obtención de una función analítica a partir de su parte real (imaginaria)
6.3. Teoremas de Liouville y de Morera
6.4. Valor principal y valores límites de la integral tipo Cauchy
6.5. Fórmulas de Schwarz y de Poisson
2 Series de funciones analíticas. Puntos singulares aislados
§ 1. Serie de Taylor
1.1. Conceptos generales sobre las series
1.2. Sucesiones y series funcionales. Convergencia puntual
1.3. Norma uniforme de una función. Convergencia uniforme de una sucesión de funciones y de una serie funcional
1.4. Convergencia en norma de una serie funcional. Criterios de Weierstrass, de Abel y de Dirichlet de convergencia uniforme de las series funcionales
1.5. Propiedades funcionales de la suma uniforme de una serie funcional
1.6. Series de potencias
1.7. Teorema de Taylor
1.8. Teorema de unicidad
§ 2. Series de Laurent y puntos singulares aislados de las funciones analíticas
2.1. Teorema de Laurent
2.2. Clasificación de los puntos singulares aislados en C
2.3. Comportamiento de una función analítica cerca de un punto singular aislado
2.4. Punto singular aislado infinito
3 Prolongación analítica
§ 1. Conceptos básicos. Prolongación analítica a lo largo de una curva
1.1. Unicidad de una función analítica. Definición de prolongación analítica
1.2. Prolongación analítica a lo largo de una curva
1.3. Invariancia de la prolongación analítica a lo largo de una curva respecto a las homotop ías de la curva
§ 2. Funciones analíticas completas
2.1. Concepto de función analítica completa
2.2. Ejemplos de funciones anal íticas completas
2.3. Puntos singulares de una función analítica completa
2.4. Existencia de un punto singular en la frontera del círculo de convergencia de una serie de potencias
§ 3. Principios de la prolongación analítica
Respuestas
Índice de materias
Prólogo a “Variable compleja”
Entre los textos recomendados para el estudio de la teoría de funciones de variable compleja hay muchos manuales y materiales didácticos muy completos que tienen por autores a científicos de fama más que reconocida: A.I.Markushévich, M.A.Lavriéntiev, B.V.Shabat, I.I.Priválov, A.V.Bitsadze, M.A.Evgráfov, A.Hurwitz, R.Courant, etcétera. Lamentablemente, en lo que respecta al volumen, elección y distribución del material, la mayoría de estos libros no están adaptados a los programas de los cursos de teoría de funciones de variable compleja que habitualmente se imparten en las facultades de matemáticas y física de las universidades de Rusia y otros países de la CEI. Separar de un libro voluminoso el material principal de modo que se forme un curso íntegro, lógicamente acabado y ajustado al programa de estudios no es fácil ni para un profesor con poca experiencia, ni para un estudiante o un posgraduado.

Las razones anteriores motivaron al autor a escribir un libro que corresponda al nivel actual de los programas universitarios del curso de teoría de funciones de variable compleja que no esté saturado de detalles y que contenga un gran número de problemas resueltos. En este tomo se resuelven detalladamente casi cuatrocientos problemas de dificultad media o alta.

Muchos libros de teoría de funciones de variable compleja se caracterizan por contener desacuerdos e imprecisiones en la terminología básica. Por ejemplo, en distintos lugares de un mismo libro el concepto de función analítica puede tener un sentido diferente. El autor ha tenido en cuenta este hecho; todos los conceptos considerados en el presente libro tienen un sentido claramente determinado.

En el comienzo de la obra se da una definición rigurosa de función (y no su descripción, como se suele hacer en la mayor parte de los manuales), se consideran las operaciones con conjuntos y los aspectos principales de la teoría de espacios métricos. Sin incluir este material en el libro, sería imposible exponer las cuestiones principales al nivel matemático que se requiere en la actualidad. Por ello, incluso una lectura rápida de ese pequeño capítulo es muy aconsejable para entender el resto de la obra, en donde se exponen los temas tradicionales de la teoría de las funciones analíticas, creada en el siglo XIX, primordialmente gracias a las obras de A.Cauchy, B.Riemann y K.Weierstrass.

En el libro se presta mucha atención a las cuestiones prácticas relacionadas con las transformaciones conformes.

El autor