Álgebra

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ÍNDICE

Prólogo

1 Teoría de determinantes
1.1. Espacios vectoriales
1.2. Aplicaciones lineales de espacios vectoriales. Matrices
1.3. Determinantes
1.4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
1.5. Transformaciones elementales de matrices
1.6. Rango de una matriz
1.7. Espacios vectoriales euclídeos

2 Raíces de polinomios
2.1. Números complejos
2.2. Teorema fundamental del álgebra
2.3. Algoritmo de Euclides
2.4. Máximo común divisor de dos polinomios

3 Reducción de una matriz a la forma canónica
3.1. Aplicaciones lineales y matrices
3.2. Polinomios de matrices y polinomios de aplicaciones
3.3. Forma de Jordan de una matriz
3.4. Formas cuadráticas
3.5. Exponencial de una matriz cuadrada

4 Ejemplos
Sección 1.1
Sección 1.2
Secciones 1.3 y 1.4
Sección 1.5
Sección 1.6
Sección 1.7
Sección 2.1
Sección 2.2
Sección 3.3
Índice de materias

Prólogo

La obra que el lector tiene en sus manos forma parte de la serie “Primera cita con la Matemática Superior”, ideada por el eminente matemático soviético Liev Semiónovich Pontriaguin (1908–1988). El objetivo que esta serie persigue está resumido en las siguientes palabras de su autor: “Estos libros están dedicados al estudio de los resultados más importantes de la matemática superior clásica. La elección del material y el orden en que éste se imparte no corresponden a ningún programa de estudios. Los libros reflejarán mis preferencias y mi punto de vista personal sobre la matemática formados en el transcurso de muchos años de trabajo. Además, tendrán en cuenta mis propios recuerdos sobre las posibilidades de percepción de los jóvenes, a fin de que las nuevas generaciones, a partir ya de los últimos cursos de la escuela, puedan familiarizarse con la matemática superior, y adquirir desde un principio un gusto sano y correcto respecto a la misma. La atención del lector debe estar dirigida no a refinamientos teóricos como, por ejemplo, la teoría de conjuntos o la teoría de límites, sino a los resultados matemáticos principales que se formaron en el transcurso de milenios”.

El presente libro está dedicado a los principales temas del álgebra. El capítulo sobre los determinantes constituye la parte principal del libro. Uno de los capítulos trata de las raíces de los polinomios y los números complejos. Es necesario señalar que la regla de multiplicación de los números complejos expresados en forma trigonométrica se demuestra aquí sin utilizar las fórmulas para el coseno y el seno de la suma de dos ángulos.

Sobre el autor

Liev Semiónovich Pontriaguin (1908 – 1988)

Eminente matemático soviético, miembro de la Academia de Ciencias de la URSS (AC URSS) y miembro honorífico de la Academia de Ciencias de Hungría, Héroe del Trabajo Socialista (1969), tres veces Laureado con el Premio Lenin, dos veces con el Premio Estatal de la URSS, con el Premio Internacional “Lobachevski” y con la orden de la “Revolución de Octubre”, entre otras medallas y órdenes. Liev Semiónovich Pontriaguin nació el 3 de septiembre de 1908 en Moscú. A la edad de 14 años perdió la vista en un accidente. En 1929 finalizó sus estudios en la Universidad Estatal de Moscú “M. V. Lomonósov”, donde trabajó desde 1930 y recibió en 1935 el grado científico de Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas y el grado académico de Profesor. A partir de 1939 ocupó paralelamente el cargo de jefe de la sección de ecuaciones diferenciales ordinarias del Instituto de Matemática “V. A. Steklov” de la AC URSS.

L. S. Pontriaguin es una de las cimas de la matemática del siglo XX. Sus trabajos fueron especialmente relevantes en los campos de la teoría de las ecuaciones diferenciales, la topología, la teoría de oscilaciones, la teoría de control, el cálculo variacional y el álgebra.

En topología el autor descubrió la ley general de dualidad, en relación con la cual construyó la teoría de caracteres de los grupos continuos. Asimismo, obtuvo una serie de resultados importantes en la teoría de homotopías (clases de Pontriaguin).

Los trabajos más importantes de Pontriaguin en teoría de oscilaciones están relacionados con la asintótica de las oscilaciones de relajación.

En la teoría de control es considerado el creador de la teoría matemática de los procesos óptimos, en cuya base se encuentra el famoso “principio de máximo de Pontriaguin”.

También obtuvo resultados importantes en el cálculo variacional, en la teoría de juegos diferenciales, en la teoría de la dimensión y en la teoría de regulación.

Los trabajos de la escuela de Pontriaguin ejercieron una gran influencia a nivel mundial en el desarrollo de la teoría de control y del cálculo variacional.