ÍNDICE
Prólogo — 11
INTRODUCCIÓN
1-1. Objeto de la Cibernética — 13
1-2. Transmisión y codificación de la información — 17
1-3. Concepto de sistema controlado — 20
Problemas para la introducción — 23
Índice de notaciones — 25
PARTE PRIMERA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS
CAPÍTULO PRIMERO. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS
1-1. Conjuntos finitos e infinitos — 27
a) Definiciones fundamentales — 27
b) Concepto de subconjunto — 29
c) Límites superior e inferior de un conjunto — 30
1-2. Operaciones con conjuntos — 31
a) Observaciones preliminares — 32
b) Unión de conjuntos — 33
c) Intersección de conjuntos — 35
d) Diferencia de conjuntos — 36
e) Conjunto universal — 37
f) Complemento de un conjunto — 38
g) Fraccionamiento de un conjunto — 39
h) Identidades del álgebra de los conjuntos — 41
1-3. Ordenación de elementos y producto directo de los conjuntos — 41
a) Conjunto ordenado — 43
b) Producto directo de conjuntos — 44
c) Proyección de un conjunto — 44
1-4. Correspondencias — 44
a) Definición de correspondencia — 46
b) Correspondencia inversa — 46
c) Composición de correspondencias — 47
1-5. Reflejos y funciones — 47
a) Reflejos y sus propiedades — 49
b) Reflejos presentados en un conjunto — 51
c) Función, funcional y operador — 53
1-6. Relaciones — 53
a) Relación como representación del enlace mutuo entre los fenómenos — 54
b) Propiedades de las relaciones — 55
c) Relación de equivalencia — 56
d) Relación de orden — 57
e) Relación de predominio — 57
1-7. Algunos conceptos de álgebra superior — 57
a) Grupos, anillos y campos — 57
b) Isomorfismo. Homomorfismo. Simulación — 59
Problemas para el capítulo 1 — 60
CAPÍTULO SEGUNDO. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LOS GRAFOS
2-1. Definiciones fundamentales de la teoría de los grafos — 62
a) Definición de grafo según la teoría de conjuntos — 62
b) Relación de orden y relación de equivalencia en un grafo — 65
c) Características de los grafos — 67
2-2. Problema del camino mínimo — 68
a) Enunciado del problema — 68
b) Búsqueda del camino mínimo en un grafo con aristas de largo unitario — 69
c) Búsqueda del camino mínimo en un grafo con aristas de largo arbitrario — 71
d) Construcción del grafo de largo mínimo — 73
2-3. Redes de transporte — 74
a) Conceptos fundamentales — 74
b) Problema del flujo máximo — 76
c) Problema de transporte — 79
CAPÍTULO TERCERO. ESPACIOS MULTIDIMENSIONALES
3-1. Espacios métricos y distancias — 86
a) Concepto de distancia — 86
b) Definición de espacio métrico — 87
c) Ejemplos de espacios métricos — 88
3-2. Interpretación geométrica de las señales y mensajes — 89
a) Espacio de mensajes — 89
b) Concepto de códigos estables a las interferencias — 90
3-3. Espacios lineales normados — 92
a) Espacio lineal — 92
b) Espacio lineal normado — 93
3-4. Aplicación de los espacios multidimensionales en algunos problemas de cibernética — 94
a) Atenuación de errores en datos experimentales — 94
b) Problema de identificación de imágenes — 97
3-5. Imágenes geométricas en el espacio multidimensional — 99
a) Concepto de hiperesfera — 99
b) Conjuntos limitados y finitos — 99
c) Conjuntos abiertos y cerrados — 100
d) Concepto de hiperplano — 100
e) Ecuación de segmento. Concepto de conjunto medio ponderado por elementos — 101
3-6. Conjuntos convexos y sus propiedades — 101
a) Definición de conjunto convexo — 102
b) Envoltura convexa de un conjunto finito — 102
Problemas para el capítulo 3 — 107
CAPÍTULO CUARTO. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LÓGICA
4-1. Operaciones lógicas — 108
a) Concepto de proposición — 108
b) Proposiciones simples y compuestas — 108
c) Presentación de las operaciones lógicas — 109
4-2. Álgebra de proposiciones — 110
a) Negación — 112
b) Adición lógica — 112
c) Multiplicación lógica — 113
d) Funciones booleanas — 114
e) Leyes e identidades del álgebra de proposiciones — 116
4-3. Síntesis de los esquemas combinatorios — 118
a) Concepto de esquema combinatorio — 118
b) Composición de una fórmula lógica según una tabla dada — 120
c) Simplificación de las fórmulas booleanas — 122
d) Ejemplos de síntesis de esquemas combinatorios — 124
4-4. Concepto de dispositivos automáticos terminales — 126
a) Esquema combinatorio como dispositivo automático terminal sin memoria — 126
b) Dispositivos automáticos terminales de tipo general — 128
Problemas para el capítulo 4 — 133
CAPÍTULO QUINTO. CORRELACIONES DE LA TEORÍA DE LOS CONJUNTOS EN LA TEORÍA DE PROBABILIDADES Y ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA MATEMÁTICA
5-1. Concepto de probabilidad — 134
a) Suceso y espacio de resultados de experimento — 134
b) Concepto de probabilidad — 135
c) Probabilidad de un suceso aleatorio — 136
d) Espacio probabilístico — 137
5-2. Cálculo de probabilidades — 138
a) Métodos de atribución de la medida probabilística — 138
b) Propiedades de la medida probabilística — 140
5-3. Probabilidades condicionales — 141
a) Concepto de probabilidad condicional — 141
b) Magnitudes aleatorias bidimensionales — 142
c) Fórmula de la probabilidad completa — 144
5-4. Magnitudes aleatorias continuas y sus distribuciones — 145
a) Concepto de magnitud aleatoria continua — 145
b) Función de distribución de probabilidades — 145
c) Densidad de distribución de probabilidades — 146
d) Distribución uniforme — 147
e) Distribución normal — 148
5-5. Características numerables de las magnitudes aleatorias — 150
a) Concepto de características numerables — 150
b) Valor medio (esperanza matemática) de una magnitud aleatoria — 150
c) Valor medio de una función de magnitud aleatoria — 151
d) Valor medio de una función de dos magnitudes aleatorias — 153
e) Esperanza matemática condicional — 154
f) Propiedades del valor medio — 154
g) Momentos. Dispersión. Desviación cuadrática media — 155
h) Regresión y correlación — 156
5-6. Procesos estocásticos discretos — 159
a) Tipos de procesos estocásticos discretos — 159
b) Proceso de pruebas independientes con dos resultados. Distribución binomial de probabilidades — 161
c) Distribución de Poisson — 163
d) Distribución exponencial. Concepto de fiabilidad — 164
e) Cadenas de Mirkov — 166
5-7. Elementos de estadística matemática — 172
a) Objeto de la estadística matemática — 172
b) Concepto de muestreo aleatorio — 173
c) Teoremas límites de la teoría de las probabilidades — 173
d) Problemas de la estadística matemática — 176
e) Estimaciones no desplazadas de la media y la dispersión — 177
f) Búsqueda de las estimaciones por el método de máxima verosimilitud — 180
g) Estimación de los parámetros por el método de intervalos de confianza — 182
h) Verificación de las hipótesis estadísticas. Concepto de criterio de acuerdo — 186
Problemas para el capítulo 5 — 188
PARTE SEGUNDA
OPTIMIZACIÓN DE LOS PROCESOS DE MANDO
CAPÍTULO SEXTO. ESTRUCTURA Y DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LOS PROBLEMAS DE MANDO ÓPTIMO
6-1. Rasgos principales del proceso de mando — 189
a) Concepto de mando — 189
b) Tipos de problemas de mando — 189
c) Concepto de investigación de operaciones — 190
6-2. Optimización del proceso de mando — 191
a) Criterio de calidad de mando — 193
b) Limitaciones impuestas al proceso de mando — 193
c) Enunciado del problema del mando óptimo — 195
6-3. Descripción matemática del objeto controlado — 195
a) Estructura del objeto controlado — 196
b) Ecuaciones de movimiento del objeto controlado — 196
6-4. Clasificación de los problemas de mando óptimo — 200
a) Problemas de toma de decisión de un paso — 201
b) Problemas dinámicos de optimización de mando — 205
c) Mando del estado final — 207
d) Juegos diferenciales — 208
6-5. Procesos de mando de pasos múltiples — 209
a) Comportamiento de un sistema dinámico como función del estado inicial — 209
b) Representación de un proceso dinámico en forma de sucesión de transformaciones — 210
c) Proceso de mando de pasos múltiples — 211
d) Criterio de calidad del mando en el proceso de pasos múltiples — 212
6-6. Problema determinado de optimización de un paso con variable unidimensional de estado — 213
a) Enunciado del problema — 213
b) Caso del conjunto finito de soluciones admisibles — 214
c) Caso del conjunto infinito limitado de soluciones admisibles — 215
d) Aplicación de las fórmulas de interpolación — 217
CAPÍTULO SÉPTIMO. PROGRAMACIÓN LINEAL
7-1. Enunciado del problema de programación lineal — 220
a) Definiciones fundamentales — 220
b) Ejemplos de problemas de programación lineal — 222
c) Interpretación geométrica del problema de programación lineal — 225
7-2. Resolución del problema de programación lineal — 228
a) Álgebra del método simplex — 228
b) Método tabular de búsqueda de la solución óptima — 230
c) Problema dual de programación lineal — 234
d) Concepto de programación de números enteros — 237
Problemas para el capítulo 7 — 238
CAPÍTULO OCTAVO. TEORÍA DE LOS JUEGOS
8-1. Objeto de la teoría de los juegos — 239
a) Juego como modelo de una situación de conflicto — 239
b) Concepto de estrategia — 240
c) Descripción formal del juego de dos personas — 241
d) Precios superior e inferior del juego — 243
8-2. Precios y estrategias óptimas de los juegos — 248
a) Juego con punto silla — 249
b) Estrategias puras y mixtas — 252
c) Función de pérdidas al utilizar estrategias mixtas — 253
d) Precios superior e inferior del juego al utilizar estrategias mixtas — 256
8-3. Teorema fundamental de la teoría de los juegos — 256
a) Juego S — 259
b) Precios inferior y superior del juego en el juego S — 261
c) Teorema de minimax — 263
d) Representación geométrica del principio de minimax — 264
8-4. Resolución de los juegos — 264
a) Estrategias predominantes y útiles — 268
b) Búsqueda de las estrategias óptimas — 271
c) Representación geométrica del principio de minimax en el juego de 2 X n — 272
Problemas para el capítulo 8 — 272
CAPÍTULO NOVENO. TEORÍA DE LAS DECISIONES ESTADÍSTICAS (JUEGOS ESTADÍSTICOS)
9-1. Estructura de los juegos estadísticos — 273
a) Juegos estratégicos y estadísticos — 274
b) Espacio de estrategias de la naturaleza — 275
c) Espacio de estrategias del estadista y función de pérdidas — 276
d) Ejemplos de juegos estadísticos — 278
9-2. Juegos estadísticos sin experimento — 278
a) Representación del juego estadístico sin experimento en forma de juego S — 278
b) Estrategias admisibles en los juegos estadísticos — 280
c) Principio de elección de las estrategias en los juegos estadísticos — 282
d) Interpretación geométrica de las estrategias de Bayes — 284
9-3. Juegos estadísticos con realización de un experimento único — 284
a) Enunciado del problema — 285
b) Espacio muestral — 286
c) Función de decisión — 288
d) Función de riesgo — 290
e) Principios de elección de la estrategia en los juegos con experimento único — 291
9-4. Utilización de las probabilidades aposteriorísticas — 291
a) Determinación del número de estrategias en los juegos con experimento — 292
b) Distribución aposteriorística de probabilidades. Fórmula de Bayes — 294
c) Principio de verosimilitud máxima — 295
d) Determinación de la decisión de Bayes sobre la base del empleo de las probabilidades aposteriorísticas — 296
e) Problema de dos alternativas — 299
9-5. Juegos estadísticos con muestras consecutivas — 299
a) Observaciones preliminares — 301
b) Utilización de la distribución aposteriorística de probabilidades para determinar las reglas consecutivas de Bayes — 303
c) Regla de las muestras consecutivas — 303
d) Función de riesgo con la regla consecutiva óptima — 306
e) Determinación de los dominios de parada — 308
Problemas para el capítulo 9 — 308
CAPÍTULO DÉCIMO. PROGRAMACIÓN DINÁMICA
10-1. Control óptimo como problema variacional — 309
a) Enunciado matemático del problema de control óptimo — 309
b) Dificultades relacionadas con la resolución del problema variacional — 312
10-2. Método de programación dinámica — 314
a) Forma discreta (discontinua) del problema variacional — 314
b) Relaciones recurrentes del método de programación dinámica — 315
c) Aspectos de cálculo de la programación dinámica — 317
d) Control del estado final — 323
e) Relación recurrente para los procesos de Márkov — 324
Problemas para el capítulo 10 — 326
