Geometría riemanniana y análisis tensorial. Tomo 2

Espacios riemannianos y espacios de conexión. Análisis tensorial. Fundamentos matemáticos de la teoría general de la relatividad.

Matemática
384
978-5-396-00685-0 .
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Resumen

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Resumen

Esta monografía es una muestra extensa de los temas más importantes del análisis tensorial y de la geometría riemanniana.

En el primer capítulo del primer tomo se ofrece una introducción a la teoría de tensores y los métodos tensoriales junto con sus aplicaciones físicas. Por el nivel del material tratado, este capítulo se aconseja especialmente a los ingenieros y estudiantes universitarios que deseen tener los conocimientos mínimos de análisis tensorial que generalmente se necesita en las aplicaciones técnicas.

En lo que respeta estrictamente a los conceptos y los instrumentos matemáticos, el primer tomo contiene, además, capítulos especialmente dedicados al estudio de otros temas: espacios afines, espacios euclídeos y seudoeuclídeos y teoría de espinores. Además, esquemáticamente, el contenido del segundo tomo es el siguiente: coordenadas curvilíneas, variadas, espacios riemannianos y seudoriemannianos, espacios de conexión afín, cálculo diferencial absoluto y tensor de curvatura de un espacio riemanniano.

Una de las particularidades que distinguen a este libro de otros se dedica a la misma temática en las incursiones que hace el autor en el territorio de la física. Siempre que es posible, el autor indica especialmente estas salidas del campo de análisis tensorial y la geometría riemanniana. Las aplicaciones más notables del análisis tensorial y de la geometría riemanniana están relacionadas con la teoría de la relatividad, a lo que se dedican al capítulo 4 del primer tomo (teoría especial) y al capítulo 10 del segundo (teoría general).

El material teórico se complementa con problemas y ejemplos, que, a pesar de su carácter particular, son de gran importancia (teoría de curvas y hipersuperficies en el espacio riemanniano y otros).

Este libro está dirigido a los estudiantes de especialidades técnicas, ingenieros, físicos, así como a los expertos en análisis tensorial y geometría riemanniana. Se recomienda como libro de texto para los estudiantes de centros de enseñanza superior.


Índice
Prólogo a la serie
Prólogo a la primera edición en ruso
Prólogo a la segunda edición en ruso
Prólogo a la tercera edición en ruso
Capítulo 1. Coordenadas curvilíneas en los espacios afín y euclídeo
  1.1. Coordenadas curvilíneas en el espacio afín
  1.2. Tensores en coordenadas curvilíneas
  1.3. Transporte paralelo
  1.4. Objeto de conexión
  1.5. Coordenadas curvilíneas en el espacio euclídeo
Capítulo 2. Variedades
  2.1. Variedad elemental
  2.2. Tensores en una variedad
  2.3. Espacio afín tangente
  2.4. Superficies en una variedad
  2.5. Concepto de variedad
Capítulo 3. Espacios riemannianos y espacios de conexión afín
  3.1. Espacio riemanniano
  3.2. El espacio euclídeo Rn como caso particular del espacio riemanniano
  3.3. Espacios no euclídeos
  3.4. Medición de volúmenes en un espacio riemanniano Vn
  3.5. Espacio de conexión afín
  3.6. Líneas geodésicas en Ln
  3.7. Coordenadas geodésicas en los espacios de conexión sin torsión L0n
  3.8. Representación de una curva de Ln como una curva de An
  3.9. Espacios Ln con paralelismo absoluto
  3.10. Conexión en un espacio riemanniano
Capítulo 4. Cálculo diferencial absoluto
  4.1. Transporte paralelo de tensores en Ln
  4.2. Diferencial absoluta y derivada absoluta
  4.3. Técnica de derivación absoluta
  4.4. Derivación absoluta en un espacio riemanniano Vn
  4.5. Curvas en un espacio riemanniano Vn
  4.6. Curvas en un espacio riemanniano (conclusión)
  4.7. Líneas geodésicas en un espacio riemanniano
  4.8. Hipersuperficies geodésicamente paralelas
  4.9. Sistemas de coordenadas semigeodésicas
  4.10. Dinámica de un sistema en el espacio habitual como la dinámica de un punto en un espacio riemanniano
Capítulo 5. Tensor de curvatura
  5.1. Tensor de curvatura en Ln
  5.2. Sentido geométrico del tensor de curvatura
  5.3. Sentido geométrico del tensor de curvatura (conclusión)
  5.4. Tensor de curvatura en Ln0
  5.5. Espacios euclídeos proyectivos
  5.6. Tensor de curvatura en un espacio riemanniano Vn
  5.7. Curvatura de un espacio en un punto en una dirección bidimensional
  5.8. Tensor de curvatura en un espacio bidimensional bidimensional V2
  5.9. Coordenadas riemannianas
  5.10. Curvatura de un espacio en un punto en una dirección bidimensional como una curvatura de una superficie geodésica
  5.11. Tensores mixtos en una hipersuperficie Vn-1 de Vn
  5.12. Teoría de las hipersuperficies Vn-1 en Vn
  5.13. Teoría de las hipersuperficies Vn-1 en Rn
  5.14. Espacios de curvatura constante
  5.15. Espacio Vn-1 de curvatura constante como una hiperesfera en Rn
  5.16. Espacios euclídeos proyectivos en el caso métrico
  5.17. Correspondencia conforme de espacios riemannianos
  5.18. Espacios conformemente euclídeos
Capítulo 6. Fundamentos matemáticos de la teoría general de la relatividad
  6.1. Espacio de sucesos en la teoría general de la relatividad
  6.2. Coordenadas localmente galileanas
  6.3. Tensor de energía-impulso en la teoría general de la relatividad
  6.4. Movimiento de una pieza en un campo gravitatorio
  6.5. Idea principal de la teoría general de la relatividad
  6.6. Teoría aproximada
  6.7. Campo gravitatorio centralmente simétrico
  6.8. Campo gravitatorio centralmente simétrico (conclusión)
  6.9. Líneas geodésicas en un campo gravitatorio centralmente simétrico
  6.10. Rotación de las órbitas planetarias
  6.11. Encorvadura de los rayos de luz en un campo gravitatorio
  6.12. Corrimiento al rojo de las líneas espectrales (conclusión)