150 elegantes problemas para futuros matemáticos

Con soluciones detalladas

Matemática
Evnin A.Yú.
978-5-396-00668-3
2015
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Resumen

Escrito por Publicador

Este libro está compuesto por 25 colecciones de seis problemas de diferentes ramas de la matemática (álgebra, geometría, análisis matemático, ecuaciones diferenciales, teoría de probabilidades, combinatoria, teoría de grafos, teoría de números) y de diferentes niveles de dificultad, que van desde problemas recreativos y rompecabezas hasta problemas que contienen nuevos resultados científicos. Algunos de los problemas propuestos en estas colecciones tienen el objetivo de ampliar los conocimientos del lector y presentar algunos temas matemáticos especiales, como son, por ejemplo, los números de Van der Waerden, la función generatriz de los números de Fibonacci, las fracciones continuas, el teorema de Helly, el teorema extremal de Turán, los teoremas geométricos de Gergonne, Stewart y Bretschneider. Los problemas que se presentan a la atención del lector son nuevos, originales e interesantes.

Estas colecciones están constituidas por los problemas propuestos en los concursos de matemática que se llevan a cabo regularmente en la Universidad Estatal del Sur de los Urales (UESU) desde 2009. Los concursos son organizados por el grupo «Concurso de matemática de la UESU» en la red social VK (vk.com). Gracias a las posibilidades de Internet, entre los participantes activos del concurso hay no sólo estudiantes de la UESU, sino también de otros centros de educación superior, así como aficionados a la matemática provenientes de Rusia y otros países.

El libro se recomienda a estudiantes preuniversitarios y universitarios interesados en las matemáticas. También será de gran ayuda en la preparación individual o de grupos de cara a olimpiadas y concursos de matemáticas.


Índice
Prólogo
Capítulo 1.
  Problema 1.1. La vaca amarrada
  Problema 1.2. Encuesta en una fiesta
  Problema 1.3. Encuentros de voleibol
  Problema 1.4. Un juego de pesas
  Problema 1.5. Un punto en un tetraedro
  Problema 1.6. Número de regiones del plano
Capítulo 2.
  Problema 2.1. Cómo cortar una salchicha
  Problema 2.2. En un campamento
  Problema 2.3. Suma de una serie
  Problema 2.4. Una integral
  Problema 2.5. Una suma
  Problema 2.6. Divisores
Capítulo 3.
  Problema 3.1. Dos mechas
  Problema 3.2. Una extraña balanza
  Problema 3.3. Segmentos y rayos
  Problema 3.4. Una desigualdad
  Problema 3.5. Potencias de valores propios
  Problema 3.6. Progresiones aritméticas
Capítulo 4.
  Problema 4.1. En una empresa
  Problema 4.2. En un torneo de ajedrez
  Problema 4.3. Un producto de fracciones
  Problema 4.4. Una extraña igualdad
  Problema 4.5. Una ecuación diferencial
  Problema 4.6. Triángulos equiláteros
Capítulo 5.
  Problema 5.1. Suma de integrales
  Problema 5.2. Ángulos obtusos
  Problema 5.3. Un gusano en una cuerda
  Problema 5.4. La mesa redonda
  Problema 5.5. Límite de una función
  Problema 5.6. Distancias enteras
Capítulo 6.
  Problema 6.1. Trozos de queso
  Problema 6.2. Siete sietes
  Problema 6.3. Cantidades medias
  Problema 6.4. Un grafo
  Problema 6.5. Un volumen
  Problema 6.6. Tres semiplanos
Capítulo 7.
  Problema 7.1. Té y pan de jengibre
  Problema 7.2. Longitudes enteras
  Problema 7.3. Bajo un ángulo recto
  Problema 7.4. Proyecciones de las caras
  Problema 7.5. Una desigualdad
  Problema 7.6. Regalos por correo
Capítulo 8.
  Problema 8.1. Un premio de queso
  Problema 8.2. Gráficos de funciones
  Problema 8.3. Un cubo con vértices numerados
  Problema 8.4. Probabilidad de desaparición de un apellido
  Problema 8.5. Del punto A al punto B
  Problema 8.6. Una ecuación diferencial
Capítulo 9.
  Problema 9.1. Diga no al cigarrillo
  Problema 9.2. Triangulación de colores
  Problema 9.3. Triángulos obtusángulos
  Problema 9.4. De nuevo triángulos
  Problema 9.5. Problema 673 del libro de B.P.Demidóvich
  Problema 9.6. Problema 2796 del libro de B.P.Demidóvich
Capítulo 10.
  Problema 10.1. Un antiguo instrumento de dibujo
  Problema 10.2. Determinante nulo
  Problema 10.3. Una sucesión recurrente
  Problema 10.4. Minimización de un funcional
  Problema 10.5. Una desigualdad con números naturales
  Problema 10.6. !`Salve a la princesa!
Capítulo 11.
  Problema 11.1. Un reloj cúbico
  Problema 11.2. Poesía sin letras
  Problema 11.3. Coloración del plano
  Problema 11.4. Un polinomio sin raíces
  Problema 11.5. Un tetraedro, un plano y cosenos
  Problema 11.6. Desigualdad cíclica
Capítulo 12.
  Problema 12.1. Dos moscas y dos ciclistas
  Problema 12.2. Tres cuadrados y dos cubos
  Problema 12.3. Dos triángulos
  Problema 12.4. El dodecaedro
  Problema 12.5. La ecuación del péndulo
  Problema 12.6. Triángulos en un grafo
Capítulo 13.
  Problema 13.1. Las doce sillas
  Problema 13.2. Mentirosos astutos
  Problema 13.3. Mínimo común múltiplo
  Problema 13.4. Corte de un hexágono
  Problema 13.5. Una desigualdad
  Problema 13.6. Cuatro puntos negros en un círculo blanco
Capítulo 14.
  Problema 14.1. Azúcar y café
  Problema 14.2. Una desigualdad integral
  Problema 14.3. Teorema de Stewart
  Problema 14.4. Niños y niñas en un torneo de ajedrez
  Problema 14.5. Tres matrices
  Problema 14.6. Una ecuación en números enteros
Capítulo 15.
  Problema 15.1. La piedra de peso medio
  Problema 15.2. Dos aristas de un tetraedro
  Problema 15.3. Dos sumas
  Problema 15.4. Límite de una integral
  Problema 15.5. Una serie y una biyección de números naturales
  Problema 15.6. Un detector de radiactividad
Capítulo 16.
  Problema 16.1. Un camello pasando bajo una cuerda
  Problema 16.2. Medianas y alturas de un triángulo
  Problema 16.3. Una integral doble
  Problema 16.4. Un determinante igual a cero
  Problema 16.5. Rectas giratorias
  Problema 16.6. Cota superior para un producto
Capítulo 17.
  Problema 17.1. Relojes de arena
  Problema 17.2. Tangentes perpendiculares
  Problema 17.3. Una ecuación funcional
  Problema 17.4. Un saltamontes y una pulga
  Problema 17.5. Cotas superiores para un producto
  Problema 17.6. Una matriz y dos vectores
Capítulo 18.
  Problema 18.1. Los tres hijos de un matemático
  Problema 18.2. Módulo de un número
  Problema 18.3. Una integral triple
  Problema 18.4. Sería una pena quedarse sin regalo
  Problema 18.5. Un sistema infinito de desigualdades
  Problema 18.6. Un barón jactancioso
Capítulo 19.
  Problema 19.1. ¿Qué balanza es mejor?
  Problema 19.2. Un punto en la mediana de un triángulo
  Problema 19.3. Una ecuación cúbica
  Problema 19.4. Probabilidad de que un triángulo sea acutángulo
  Problema 19.5. Una suma de fracciones
  Problema 19.6. Un juego de pesas infinito
Capítulo 20.
  Problema 20.1. Dos velas
  Problema 20.2. Un polinomio de quinto grado
  Problema 20.3. Un trapecio isósceles
  Problema 20.4. Una serie
  Problema 20.5. Una sucesión de números naturales
  Problema 20.6. Una suma de funciones periódicas
Capítulo 21.
  Problema 21.1. ¿Cuántas fichas?
  Problema 21.2. División de un triángulo en tres
  Problema 21.3. Radicales complicados
  Problema 21.4. Polinomio con una raíz real
  Problema 21.5. Pares de vecinos
  Problema 21.6. Función periódica en un punto
Capítulo 22.
  Problema 22.1. ¿Quién es mayor?
  Problema 22.2. Una circunferencia y un polígono
  Problema 22.3. Un cubo y un plano
  Problema 22.4. Una ecuación diferencial
  Problema 22.5. Una integral múltiple
  Problema 22.6. Sobre el teorema de Pitágoras
Capítulo 23.
  Problema 23.1. Grupos de pesas
  Problema 23.2. Circunferencias tangentes
  Problema 23.3. Una integral
  Problema 23.4. Una igualdad matricial
  Problema 23.5. Sistemas de numeración
  Problema 23.6. Identidades trigonométricas
Capítulo 24.
  Problema 24.1. Monedas falsas
  Problema 24.2. Un quinteto de compañeros
  Problema 24.3. Una desigualdad
  Problema 24.4. El área de un triángulo
  Problema 24.5. Localización de la raíz
  Problema 24.6. ¿Cómo encender todas las lámparas?
Capítulo 25.
  Problema 25.1. Dos gatos y un ratón
  Problema 25.2. Búsqueda de un ángulo
  Problema 25.3. 500 dígitos
  Problema 25.4. Una desigualdad para el factorial
  Problema 25.5. Límite de una sucesión recurrente
  Problema 25.6. ¿Es un polinomio o no?